Question

拋物線C的方程為y=ax²（a＜0），過拋物線C上一點(diǎn)P（x，y）（x≠0）作斜率為k₁，k₂的兩條直線分別交拋物線C于
A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）兩點(diǎn)（P，A，B三點(diǎn)互不相同），且滿足k₂+λk₁=0（λ≠0且λ≠-1）．
（Ⅰ）求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）設(shè)直線AB上一點(diǎn)M，滿足，證明線段PM的中點(diǎn)在y軸上．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由拋物線C的方程y=ax²（a＜0）得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為．
（Ⅱ）設(shè)直線PA的方程為y-y=k₁（x-x），直線PB的方程為y-y=k₁（x-x）．點(diǎn)P（x，y）和點(diǎn)A（x₁，y₁）的坐標(biāo)是方程組的解．于是，故，又點(diǎn)P（x，y）和點(diǎn)B（x₂，y₂）的坐標(biāo)是方程組的解．于是，故．由此能夠證明線段PM的中點(diǎn)在y軸上．
解答：解：（Ⅰ）由拋物線C的方程y=ax²（a＜0）得，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為．
（Ⅱ）證明：設(shè)直線PA的方程為y-y=k₁（x-x），直線PB的方程為y-y=k₁（x-x）．
點(diǎn)P（x，y）和點(diǎn)A（x₁，y₁）的坐標(biāo)是方程組的解．
將②式代入①式得ax²-k₁x+k₁x-y=0，于是，故③
又點(diǎn)P（x，y）和點(diǎn)B（x₂，y₂）的坐標(biāo)是方程組的解．
將⑤式代入④式得ax²-k₂x+k₂x-y=0．于是，故．
由已知得，k₂=-λk₁，則． ⑥
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x_M，y_M），由，則．
將③式和⑥式代入上式得，即x_M+x=0．
∴線段PM的中點(diǎn)在y軸上．
點(diǎn)評：本題考查拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程的求法，證明線段PM的中點(diǎn)在y軸上．解題時(shí)要熟練掌握拋物線的性質(zhì)，認(rèn)真審題，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．