Question

14．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A₁B₁，A₁C₁的中點，求證：
（1）平面EFA₁∥平面BCHG；
（2）BG、CH、AA₁三線共點．

Answer 1

分析 （1）由已知條件條件出EF∥平面BCGH，A₁E∥平面BCHG，由此能證明平面平面EFA₁∥平面BCHG；
（2）BG與CH必相交，設交點為P，證明P∈直線AA₁，即可證明BG、CH、AA₁三線共點．

解答 證明：（1）∵E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，∴EF∥BC，
∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG．
∵A₁G與EB平行且相等，
∴四邊形A₁EBG是平行四邊形，
∴A₁E∥GB，
∵A₁E?平面BCHG，GB?平面BCHG，
∴A₁E∥平面BCHG．
∵A₁E∩EF=E，∴平面EFA₁∥平面BCHG．
（2）∵GH∥BC，GH＜BC，
∴BG與CH必相交，
設交點為P，
則由P∈BG，BG?平面BAA₁B₁，得P∈平面BAA₁B₁，
同理P∈平面CAA₁C₁，
又平面BAA₁B₁∩平面CAA₁C₁=AA₁，
∴P∈直線AA₁，∴BG、CH、AA₁三線共點．

點評 本題考查平面與平面平行的證明，考查直線位置關(guān)系，是中檔題，