Question

（2006•宣武區(qū)一模）如果直線y=kx+1與圓x²+y²+kx+my-4=0交于M、N兩點，且M、N關(guān)于直線x+y=0對稱，則不等式組

kx-y+1≥0 kx-my≤0 y≥0

，所表示的平面區(qū)域的面積是（　�。�

• A．

  1

  4

• B．1
• C．

  1

  2

• D．2

Answer 1

分析：由M與N關(guān)于x+y=0對稱得到直線y=kx+1與x+y=0垂直，利用兩直線垂直時斜率的乘積為-1，得到k的值；設出M與N的坐標，然后聯(lián)立y=x+1與圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)韋達定理得到兩橫坐標之和的關(guān)于m的關(guān)系式，再根據(jù)MN的中點在x+y=0上得到兩橫坐標之和等于-1，列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，把k的值和m的值代入不等式組，在數(shù)軸上畫出相應的平面區(qū)域，求出面積即可．

解答：解：∵M、N兩點，關(guān)于直線x+y=0對稱，
∴直線y=kx+1與x+y=0垂直，
∴k=1，
又圓心（-

k

2

，-

m

2

）在直線x+y=0上
∴-

k

2

-

m

2

=0
∴m=-1
∴原不等式組變?yōu)?span id="4kwk4si" class="MathJye">

x-y+1≥0 x+y≤0 y≥0

作出不等式組表示的平面區(qū)域，
△AOB為不等式所表示的平面區(qū)域，聯(lián)立

y=-x y=x+1

解得B（-

1

2

，

1

2

），A（-1，0），
所以S_△AOB=

1

2

×|-1|×|-

1

2

|=

1

4

．
故選A

點評：此題考查學生掌握直線與圓的位置關(guān)系、二元一次不等式（組）與平面區(qū)域等基本知識，考查學生靈活運用中點坐標公式化簡求值，會進行簡單的線性規(guī)劃，是一道中檔題．