下列五個(gè)命題中,正確的命題的序號(hào)是
①④
①④

①函數(shù)y=tan
x
2
的圖象的對(duì)稱中心是(kπ,0),k∈Z;
②f(x)在(a,b)上連續(xù),x0∈(a,b)且f(x0)=0 則f(a)f(b)<0;
③函數(shù)y=3sin(2x+
π
3
)的圖象可由函數(shù)y=3sin2x的圖象向右平移
π
3
個(gè)單位得到;
④f(x)在R上的導(dǎo)數(shù)f′(x),且xf′(x)-f(x)<0,則
f(2)
2
<f(1)

⑤函數(shù)y=ln(1+2cos2x)的遞減區(qū)間是[kπ,kπ+
π
4
](k∈Z).
分析:根據(jù)正切函數(shù)的對(duì)稱性,可判斷①;根據(jù)零點(diǎn)存在定理的逆命題不一定成立,可判斷②;根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換法則,可判斷③;構(gòu)造函數(shù)g(x)=
f(x)
x
,利用導(dǎo)數(shù)法判斷其單調(diào)性,可判斷④;根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性及對(duì)數(shù)函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),可得答案.
解答:解:令
x
2
=
2
,k∈Z,得x=kπ,k∈Z,故函數(shù)y=tan
x
2
的圖象的對(duì)稱中心是(kπ,0),k∈Z,即①正確;
由f(x0)=0可得x0為函數(shù)f(x)的零點(diǎn),但若x0為函數(shù)f(x)的不變號(hào)零點(diǎn),則f(a)f(b)<0不一定成立,即②錯(cuò)誤;
函數(shù)y=3sin2x的圖象向右平移
π
3
個(gè)單位得到y(tǒng)=3sin2(x+
π
3
)=函數(shù)y=3sin(2x
3
)的圖象,故③錯(cuò)誤;
令g(x)=
f(x)
x
,則g′(x)=
f′(x)x-f(x)
x2
,由f′(x)x-f(x)<0可得:g′(x)<0恒成立,故
f(2)
2
<f(1),故④正確;
函數(shù)y=ln(1+2cos2x)的遞減區(qū)間是[kπ,kπ+
π
3
),(k∈Z),故⑤錯(cuò)誤.
故答案為:①④
點(diǎn)評(píng):本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體,考查了三角函數(shù)的對(duì)稱性,函數(shù)的零點(diǎn),函數(shù)圖象的平移變換,函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)點(diǎn),綜合性強(qiáng),但難度不大.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下列五個(gè)命題中,正確的有幾個(gè)?( 。
①函數(shù)y=
x2
y=(
x
)2
是同一函數(shù);
②若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一個(gè)元素,則k=1;
③函數(shù)f(x)=
1-x2
x
是奇函數(shù);
④函數(shù)y=
1
1-x
在x∈(-∞,0)上是增函數(shù);
⑤定義在R上的奇函數(shù)f(x)有f(x)•f(-x)≤0.
A、1B、2C、3D、4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

下列五個(gè)命題中,正確的有幾個(gè)?(  )
①函數(shù)y=
x2
與y=((
x
)2
是同一函數(shù);
②若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一個(gè)元素,則k=1;
③集合M={(x,y)|2x-y=3},N={(x,y)|x+y=0},那么集合M∩N={1,-1};
④方程x2+4x+4=0的解集中含有一個(gè)元素;
⑤Φ?A.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

下列五個(gè)命題中,正確的有幾個(gè)?(  )
①函數(shù)y=
x2
y=(
x
)2
是同一函數(shù);
②若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一個(gè)元素,則k=1;
③函數(shù)f(x)=
1-x2
x
是奇函數(shù);
④函數(shù)y=
1
1-x
在x∈(-∞,0)上是增函數(shù);
⑤定義在R上的奇函數(shù)f(x)有f(x)•f(-x)≤0.
A.1B.2C.3D.4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年山東省濰坊一中高一(上)過(guò)程性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

下列五個(gè)命題中,正確的有幾個(gè)?( )
①函數(shù)y=與y=(是同一函數(shù);
②若集合A={x|kx2+4x+4=0}中只有一個(gè)元素,則k=1;
③集合M={(x,y)|2x-y=3},N={(x,y)|x+y=0},那么集合M∩N={1,-1};
④方程x2+4x+4=0的解集中含有一個(gè)元素;
⑤Φ?A.
A.1
B.2
C.3
D.4

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