Question

若方程所表示的曲線為C，給出下列四個命題：
①若C為橢圓，則1＜t＜4；
②若C為雙曲線，則t＞4或t＜1；
③曲線C不可能是圓；　　　　
④若，曲線C為橢圓，且焦點坐標為；
⑤若t＜1，曲線C為雙曲線，且虛半軸長為．
其中真命題的序號為________．（把所有正確命題的序號都填在橫線上）

Answer 1

②④⑤
分析：①若C為橢圓，則，故1＜t＜4且t；
②若C為雙曲線，則（4-t）（t-1）＜0，故t＞4或t＜1；
③t時，曲線C是圓，；
④若，曲線C為橢圓，此時焦點在x軸上，由此可得焦點坐標；
⑤若t＜1，曲線C為雙曲線，此時焦點在x軸上，由此可得虛半軸長為．
解答：①若C為橢圓，則，∴1＜t＜4且t，故①不正確；
②若C為雙曲線，則（4-t）（t-1）＜0，∴t＞4或t＜1，故②正確；
③t時，曲線C是圓，故③不正確；
④若，曲線C為橢圓，此時焦點在x軸上，且焦點坐標為，故④正確；
⑤若t＜1，曲線C為雙曲線，此時焦點在x軸上，且虛半軸長為，故⑤正確．
綜上真命題的序號為②④⑤
故答案為：②④⑤
點評：本題考查圓錐曲線，考查學生分析解決問題的能力，考查計算能力，屬于中檔題．