Question

12、已知函數(shù)f（x）=x²（ax+b）（a，b∈R）在x=2時有極值，其圖象在點（1，f（1））處的切線與直線3x+y=0平行，則函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為

（0，2）

．

Answer 1

分析：對函數(shù)f（x）求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出ab的值確定函數(shù)f（x）的解析式，最后根據(jù)導數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減可得答案．

解答：解：由函數(shù)f（x）=x²（ax+b）在x=2處取得極值
則 f'（2）=12a+4b=0
由圖象在點（1，f（1））處的切線與直線3x+y=0平行
則 f'（1）=3a+2b=-3
聯(lián)立解得 a=1，b=-3
代入，得 f（x）=x²（ax+b）=x³-3x²
此函數(shù)的定義域為（-∞，∞）
f'（x）=3x²-6x
令f'（x）=0，解得 x₁=0，x₂=2
由x₁=0，x₂=2將（-∞，∞）分成三個區(qū)間（-∞，0），（0，2），（2，∞）；
在區(qū)間（-∞，0）和（2，∞）上f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]和[2，∞）上是單調(diào)增加的；
在區(qū)間（0，2）上f′（x）＜0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上是單調(diào)減少的
故答案為：（0，2）

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導函數(shù)的正負之間的關(guān)系，即當導數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．