Question

在平面直角坐標系中，已知三點A（-2，0）、B（2，0）C(1，

3

)，△ABC的外接圓為圓，橢圓

x2

4

+

y2

2

=1的右焦點為F．
（1）求圓M的方程；
（2）若點P為圓M上異于A、B的任意一點，過原點O作PF的垂線交直線x=2

2

于點Q，試判斷直線PQ與圓M的位置關系，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）解法一：設圓M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，因為圓M過A，B，C，所以

(-2)2-2D+F=0 22+2D+F=0 1+3+D+ 3 E+F=0

，由此能求出圓M方程．
解法二：由題意知A（-2，0），B（2，0），C(1，

3

)，所以K_AC=

3

3

，KBC=-

3

，則K_AC•K_BC=-1
所以AC⊥BC，所以△ABC是以C為直角頂點的直角三角形，由此知以外接圓M以原點O為圓心，線段AB為直徑，從而得到其方程．
（2）直線PQ與圓M相切．證明這個結論：由橢圓E的方程

x2

4

+

y2

2

=1，可知F(

2

，0)，設P（x₀，y₀）（x₀≠±2），則y₀²=4-x₀²．然后通過分類討論知當x₀≠±2時，直線PQ始終與圓M相切．

解答：解：（1）法一設圓M的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
因為圓M過A，B，C，
所以

(-2)2-2D+F=0 22+2D+F=0 1+3+D+ 3 E+F=0

（4分）
解得D=E=0，F(xiàn)=-4，故圓M方程為x²+y²=4．（6分）
解法二：由題意知A(-2，0)，B(2，0)，C(1，

3

)，
所以K_AC=

3

3

，KBC=-

3

，則K_AC•K_BC=-1
所以AC⊥BC，所以△ABC是以C為直角頂點的直角三角形，（4分）
所以外接圓M以原點O為圓心，線段AB為直徑，故其方程為x²+y²=4．（6分）
（2）直線PQ與圓M相切．
下證明這個結論：由橢圓E的方程

x2

4

+

y2

2

=1，可知F(

2

，0)，（8分）
設P（x₀，y₀）（x₀≠±2），則y₀²=4-x₀²．
當x₀=

2

2時，P(

2

，±

2

)，Q(2

2

，0)，KOP=1，KPQ=-1，
所以OP⊥PQ所以直線PQ與圓M相切．（10分）
當x₀≠

2

6時，k_FP=

y0

x0- 2

，kOQ=-

x0- 2

y0

7，
所以直線OQ的方程為y=-

x0- 2

y0

x，因此，
點Q的坐標為(2

2

，-

2 2 x0-4

y0

)，
所以k_PQ=-

x0

y0

，（12分）
所以當x₀=0時，k_PQ=0，OP⊥PQ，直線PQ始終與圓M相切；
當x₀≠0時，k_PQ•k_OP=-1，OP⊥PQ，直線PQ始終與圓M相切．
綜上，當x₀≠±2時，總有OP⊥PQ，故直線PQ始終與圓M相切．（16分）

點評：本題考查圓錐曲線的性質和應用，解題時要注意公式的合理運用和分類討論思想的合理運用．