三角形ABC中,三內(nèi)角∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c,c=10,且
cosA
cosB
=
b
a
=
4
3

(1)求證:三角形ABC是直角三角形;
(2)過AB中點(diǎn)E作直線MN與射線CA,CB分別交于M,N,求|ME|•|NE|的最小值,并求出此時直線MN的方程.
分析:(1)由正弦定理和條件得sin2A=sin2B,得2A=2B或2A+2B=π,結(jié)合條件得A+B=
π
2
,判斷出三角形的形狀;
(2)先由條件建立坐標(biāo)系,再求出點(diǎn)A、B、E的坐標(biāo),再設(shè)∠NMC=θ,利用直角三角形的三角函數(shù)求出|ME|•|NE|的表達(dá)式,再由正弦函數(shù)的最值求出它的最小值,以及對應(yīng)的θ的值,即求出直線的斜率,再代入點(diǎn)斜式方程化簡.
解答:(1)證明:由正弦定理得,
cosA
cosB
=
sinB
sinA

則sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,
∴2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=
π
2
,
又∵
b
a
=
4
3
,∴A≠B,則A+B=
π
2
,C=
π
2

∴三角形ABC是直角三角形,
(2)解:以C為原點(diǎn),CA、CB分別為x軸,y軸建系如圖:

則A(8,0),B(0,6),從而E(4,3).
設(shè)∠NMC=θ,則|EM|=
3
sinθ
,|EN|=
4
cosθ

|EM|•|EN|=
12
sinθcosθ
=
24
sin2θ

當(dāng)2θ=90°,θ=45°時,|EM|•|EN|最小值為24.
∴直線MN的斜率是-1,則直線MN方程為y-3=-(x-4),
即直線MN的方程x+y-7=0.
點(diǎn)評:本題正弦定理,三角恒等變換的公式,以及坐標(biāo)法的應(yīng)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖(1),在三角形ABC中,AB⊥AC,若AD⊥BC,則AB2=BD.BC;若類比該命題,如圖(2),三棱錐A-BCD中,AD⊥面ABC,若A點(diǎn)在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M,則有什么結(jié)論?命題是否是真命題.

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精英家教網(wǎng)如圖,在三棱錐S-ABC中,側(cè)面SAB⊥底面ABC,且∠ASB=∠ABC=90°,AS=SB=2,AC=2
3


(Ⅰ)求證SA⊥SC;
(Ⅱ)在平面幾何中,推導(dǎo)三角形內(nèi)切圓的半徑公式r=
2S
l
(其中l(wèi)是三角形的周長,S是三角形的面積),常用如下方法(如右圖):
①以內(nèi)切圓的圓心O為頂點(diǎn),將三角形ABC分割成三個小三角形:△OAB,△OAC,△OB精英家教網(wǎng)C.
②設(shè)△ABC三邊長分別為a,b,c.由S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB,
S=
1
2
ar+
1
2
br+
1
2
cr
=
1
2
lr
,則r=
2S
l

類比上述方法,請給出四面體內(nèi)切球半徑的計算公式(不要求說明類比過程),并利用該公式求出三棱錐S-ABC內(nèi)切球的半徑.

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