Question

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=pn²+qn．
（1）當(dāng)p，q滿足什么條件時(shí)，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）求證：對任意實(shí)數(shù)p、q，數(shù)列{a_n+1-a_n}是等差數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義，即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明．

解答： 解：（1）∵a_n=pn²+qn．
∴若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
則當(dāng)n＞1時(shí)，a_n-a_n-1=pn²+qn-[p（n-1）²+q（n-1）]=2pn+q-p為常數(shù)，
∴必有p=0，
即當(dāng)p=0，數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（2）∵a_n=pn²+qn．
∴當(dāng)n＞1時(shí)，a_n-a_n-1=pn²+qn-[p（n-1）²+q（n-1）]=2pn+q-p，
即a_n+1-a_n=2p（n+1）+q-p，
∴（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=2p為常數(shù)，
即對任意實(shí)數(shù)p、q，數(shù)列{a_n+1-a_n}是等差數(shù)列．

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列的判斷，根據(jù)等差數(shù)列的定義是解決本題的關(guān)鍵．