Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且滿足c=2bcosA．
（1）求證：A=B；
（2）若△ABC的面積S=

15

2

，cosC=

4

5

，求c的值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化簡已知的等式，再利用內角和定理及誘導公式化簡，根據兩角和與差的正弦函數公式變形化簡得證；
（2）由（1）得出的A=B，利用等角對等邊得到a=b，由C為三角形的內角，以及cosC的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sinC的值，利用三角形的面積公式，根據已知的面積列出關于a的方程，求出方程的解得到a與b的值，再利用余弦定理即可求出c的值．

解答：解：（1）由c=2bcosA，根據正弦定理，得：sinC=2sinBcosA，
又在△ABC中，A+B+C=π，
∴sinC=sin（A+B），
∴sin（A+B）=2sinBcosA，即sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA，
∴sinAcosB-cosAsinB=0，即sin（A-B）=0，
又A、B為三角形內角，
∴A=B；
（2）由（1）得A=B，∴a=b，
∵角C為三角形內角，且cosC=

4

5

，
∴sinC=

1-cos2C

=

3

5

，
又S=

15

2

，即S=

1

2

absinC=

1

2

a²×

3

5

=

15

2

，
解得：a=5，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=10，
解得：c=

10

．

點評：此題考查了正弦定理、余弦定理，三角形的面積公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理是解本題的關鍵．