Question

A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，直角△ABC中，∠B=90°，以BC為直徑的⊙O交AC于點D，點E是AB的中點．
求證：DE是⊙O的切線．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣A有特征值-1及其對應的一個特征向量為

1 -4

，點P（2，-1）在矩陣A對應的變換下得到點P′（5，1），求矩陣A．
C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線l的極坐標方程為ρcos(θ-

π

4

)=

2

，曲線C的參數(shù)方程為

x=2cosα y=sinα

（α為參數(shù)），求曲線C截直線l所得的弦長．
D．選修4-5：不等式選講
已知a，b，c都是正數(shù)，且abc=8，求證：log₂（2+a）+log₂（2+b）+log₂（2+c）≥6．

Answer 1

分析：A．連接OD，DB，由BC是⊙O的直徑，知∠ADB=∠CDB=90°，由此能夠推導出∠EDO=∠OBE=90°，從而證明DE是⊙O的切線．
B．設二階矩陣A=

a b c d

，由題意，

a b c d

1 -4

=(-1)

1 -4

，且

a b c d

2 -1

=

5 1

，由此能求出矩陣A．
C．分別把ρcos(θ-

π

4

)=

2

和參數(shù)方程

x=2cosα y=sinα

（α為參數(shù)）化為直角坐標方程，然后聯(lián)立方程組解得兩曲線的交點，由此能求出弦長．
D．先利用基本不等式根據(jù)已知條件推導出（2+a）（2+b）（2+c）≥2

2a

•2

2b

•2

2c

=8

8abc

=64，再由對數(shù)性質能夠證明log₂（2+a）+log₂（2+b）+log₂（2+c）≥6．

解答：【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做兩題，每小題（10分），共計（20分）．
A．選修4-1：幾何證明選講
證：連接OD，DB
∵BC是⊙O的直徑∴∠ADB=∠CDB=90°…（2分）
∵E是AB的中點∴DE=

1

2

AB=EB∴∠1=∠2
∵OD=OB，∴∠3=∠4…（8分）
∴∠1+∠3=∠2+∠4．即∠EDO=∠OBE=90°
∴DE是⊙O的切線．…（10分）

B．選修4-2：矩陣與變換
解：設二階矩陣A=

a b c d

由題意，

a b c d

1 -4

=(-1)

1 -4

，且

a b c d

2 -1

=

5 1

…（4分）
即

a-4b=-1 2a-b=5 c-4d=4 2c-d=1

，…（8分）
解得

a=3 b=1 c=0 d=-1

，∴A=

3 1 0 -1

．…（10分）
C．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
解：由ρcos(θ-

π

4

)=

2

，化為直角坐標方程x+y-2=0，①…（4分）
參數(shù)方程

x=2cosα y=sinα

（α為參數(shù)），化為直角坐標方程

x2

4

+y2=1，②…（8分）
聯(lián)立①②得

x+y-2=0 x2 4 +y2=1

，解得兩曲線的交點為（2，0），(

6

5

，

4

5

)，
所以所求的弦長=

(2- 6 5 )2+(0- 4 5 )2

=

4

5

2

．…（10分）
D．選修4-5：不等式選講
證明：∵a，b，c都是正數(shù)，
∴2+a≥2

2a

，2+b≥2

2b

，2+c≥2

2c

，…（4分）
又∵abc=8，
∴（2+a）（2+b）（2+c）≥2

2a

•2

2b

•2

2c

=8

8abc

=64，…（8分）
（當且僅當a=b=c=2時等號成立）…（9分）
故log₂（2+a）+log₂（2+b）+log₂（2+c）
=log₂[（2+a）（2+b）（2+c）]
≥log₂64=6．…（10分）

點評：A考查與圓有關的比例線段，B考查矩陣與變換，C考查極坐標與參數(shù)方程，D考查不等式的證明，都是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．