定義區(qū)間(m,n),[m,n],(m,n],[m,n)的長度均為n-m,其中n>m.
(1)若關(guān)于x的不等式2ax2-12x-3>0的解集構(gòu)成的區(qū)間的長度為
6
,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)已知A={x|
7
x+1
>1},B={x|
x>0
tx+3t>0
tx2+3tx-4<0
,若A∩B構(gòu)成的各區(qū)間長度和為6,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
分析:(1)當(dāng)a=0時(shí),不符合題意.當(dāng)a≠0時(shí),由題意關(guān)于x的方程2ax2-12x-3=0的兩根設(shè)為x1、x2,滿足|x1-x2| =
6
,利用根與系數(shù)關(guān)系進(jìn)行配方,列出關(guān)于a的方程,再結(jié)合根的判別式解之,即可得到實(shí)數(shù)a的值;
(2)先解分式不等式,得不等式
7
x+1
>1
的解集A=(-1,6),再結(jié)合集合B的不等式組,得當(dāng)x∈(0,6)時(shí)不等式組
tx+3t>0
tx2+3tx-4<0
恒成立.最后討論一元一次不等式tx+3t>0和一元二次不等式tx2+3tx-4<0在(0,6)都恒成立,即可得到實(shí)數(shù)t的取值范圍.
解答:解:(1)當(dāng)a=0時(shí),不等式為-12x-3>0,顯然不符合合題意;--------(1分)
當(dāng)a≠0時(shí),方程2ax2-12x-3=0的兩根設(shè)為x1、x2,
則△=144+24a>0且a<0,得-6<a<0
x1+x2=
6
a
,x1x2=-
3
2a
,(3分)
6=|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=
36
a2
+
6
a
,得a=-2或a=3(舍),所以a=-2.(6分)
(2)先解不等式
7
x+1
>1
,整理得
-x+6
x+1
>0
,即(x+1)(x-6)<0,
所以不等式
7
x+1
>1
的解集A=(-1,6),--------------------------------------------(8分)
又∵B⊆(0,+∞),A∩B⊆(0,6),-------------(10分),
∴不等式組的解集各區(qū)間長度和為6,所以當(dāng)x∈(0,6)時(shí)恒成立.
當(dāng)x∈(0,6)時(shí),不等式tx+3t>0恒成立,得t>0;-----------------(12分)
當(dāng)x∈(0,6)時(shí),不等式tx2+3tx-4<0恒成立,即t<
4
x2+3x
恒成立,
而x∈(0,6)時(shí),
4
x2+3x
的取值范圍為(
2
27
,+∞)
,所以實(shí)數(shù)t≤
2
27
;--------(15分)
綜上所述,t的取值范圍為(0,
2
27
]
-------------(16分)
點(diǎn)評:本題給出區(qū)間長度的定義,要求我們根據(jù)這個(gè)定義討論不等式組的解集.著重考查了一元二次不等式的解法和含有參數(shù)的不等式恒成立的討論等知識,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2009•上海模擬)定義區(qū)間(m,n),[m,n],(m,n],[m,n)的長度均為n-m,其中n>m.
(1)若關(guān)于x的不等式2ax2-12x-3>0的解集構(gòu)成的區(qū)間的長度為
6
,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)已知關(guān)于x的不等式sinxcosx+
3
cos2x+b>0
,x∈[0,π]的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和超過
π
3
,求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
(3)已知關(guān)于x的不等式組
7
x+1
>1 
log2x+log2(tx+3t)<2
的解集構(gòu)成的各區(qū)間長度和為6,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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定義區(qū)間(m,n),[m,n],(m,n],[m,n)的長度均為n-m,其中n>m.
(1)求關(guān)于x的不等式4x-2x+3+7<0的解集構(gòu)成的區(qū)間的長度;
(2)若關(guān)于x的不等式2ax2-12x-3>0的解集構(gòu)成的區(qū)間的長度為
6
,求實(shí)數(shù)a的值;
(3)已知關(guān)于x的不等式sinxcosx+
3
cos2
x+b>0,x∈[0,π]的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和超過
π
3
,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義區(qū)間(m,n),[m,n],(m,n],[m,n)的長度均為n-m,其中n>m.
(1)求不等式
2x-1
x+3
<1
的解集所構(gòu)成的區(qū)間的長度;
(2)若關(guān)于x的不等式2ax2-12x-3>0的解集構(gòu)成的區(qū)間的長度為
6
,求實(shí)數(shù)a的值.

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(2009•上海模擬)定義區(qū)間(m,n),[m,n],(m,n],[m,n)的長度均為n-m,其中n>m.
(1)若關(guān)于x的不等式2ax2-12x-3>0的解集構(gòu)成的區(qū)間的長度為
6
,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)求關(guān)于x的不等式sinxcosx+
3
cos2x>0
,x∈[0,2π]的解集構(gòu)成的各區(qū)間的長度和;
(3)已知關(guān)于x的不等式組
6
x
>1 
log2x+log2(tx+3t)<2
的解集構(gòu)成的各區(qū)間長度和為6,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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