Question

（2013•鄭州一模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，點(diǎn)A在橢圓C上，

AF1

•

F1F2

=0，cos∠F1AF2=

3

5

，|

F1F2

|=2，過(guò)點(diǎn)F₂且與坐標(biāo)軸不垂直的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)．
（I）求橢圓C的方程；
（II）線段OF₂上是否存在點(diǎn)M（m，0），使得

QP

•

MP

=

PQ

•

MQ

，若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）易知△AF₁F₂為Rt△，由cos∠F1AF2=

3

5

及|

F1F2

|=2可求得|

AF1

|=

3

2

，|

AF2

|=

5

2

，由橢圓定義可求得a，由b²=a²-c²可求得b；
（II）設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為N，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），直線方程為y=k（x-1）（k≠0），由

QP

•

MP

=

PQ

•

MQ

，可得

PQ

•(

MQ

+

MP

)=2

PQ

•

MN

=0，即PQ⊥MN，故kMN=-

1

k

①，聯(lián)立直線方程與橢圓方程消掉y得x的二次方程，由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可表示出N點(diǎn)坐標(biāo)，代入①可得m，k的關(guān)系式，分離出m利用基本不等式即可求得m的取值范圍；

解答：解：（Ⅰ）由題意∠AF₁F₂=90°，cos∠F1AF2=

3

5

，
又|

F1F2

|=2，
所以|

AF1

|=

3

2

，|

AF2

|=

5

2

，2a=|

AF1

|+|

AF2

|=4，
所以a=2，c=1，b²=a²-c²=3，即所求橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）存在這樣的點(diǎn)M符合題意．
設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為N，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），直線PQ的斜率為k（k≠0），
又F₂（1，0），則直線PQ的方程為y=k（x-1），
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-1)

消y得（4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
由韋達(dá)定理得x1+x2=

8k2

4k2+3

，故x0=

x1+x2

2

=

4k2

4k2+3

，
又點(diǎn)N在直線PQ上，所以N(

4k2

4k2+3

，

-3k

4k2+3

)．
由

QP

•

MP

=

PQ

•

MQ

，可得

PQ

•(

MQ

+

MP

)=2

PQ

•

MN

=0，即PQ⊥MN，
所以kMN=

0+ 3k 4k2+3

m- 4k2 4k2+3

=-

1

k

，整理得m=

k2

4k2+3

=

1

4+ 3 k2

∈(0，

1

4

)，
所以在線段OF₂上存在點(diǎn)M（m，0）符合題意，其中m∈(0，

1

4

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程、橢圓方程及其位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力，本題綜合性較強(qiáng)，難度較大．