Question

【題目】已知橢圓的離心率,在橢圓上.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）已知?jiǎng)又本�（斜率存在）與橢圓相交于點(diǎn)兩點(diǎn),且的面積,若為線段的中點(diǎn).點(diǎn)在軸上投影為,問：在軸上是否存在兩個(gè)定點(diǎn),使得為定值,若存在求出的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

（1）由題意，根據(jù)題設(shè)條件，列出關(guān)于的方程，求得的值，即可得到橢圓的方程；

（2）設(shè)直線的方程，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，以及弦長公式，求得，再由點(diǎn)到直線的距離公式，求得點(diǎn)到直線的距離，得出，求得， 進(jìn)而得出的值，即可得到結(jié)論.

（1）由題可知，

解之得：

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

（2）設(shè)直線的方程為

代入橢圓方程，消去得：

若設(shè)

則

此時(shí)

又點(diǎn)到直線的距離：

∴

∴

假設(shè)存在符合題意的兩個(gè)定點(diǎn)

∵

∴

又

故當(dāng)，即時(shí)，為定值.

故存在兩點(diǎn)滿足題意.