Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F1（﹣ ，0），e= ． （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）如圖，設(shè)R（x0 ， y0）是橢圓C上一動點(diǎn)，由原點(diǎn)O向圓（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=4引兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)P，Q，若直線OP，OQ的斜率存在，并記為k1 ， k2 ， 求證：k1k2為定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試問OP2+OQ2是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意得， ，解得 ，b= = ∴橢圓方程為
（Ⅱ）由已知，直線OP：y=k1x，OQ：y=k2x，且與圓R相切，
∴ ，化簡得
同理 ，
∴k1 ， k2是方程 的兩個不相等的實(shí)數(shù)根
∴ ，△＞0，
∵點(diǎn)R（x0 ， y0）在橢圓C上，所以 ，即
∴
（Ⅲ）OP2+OQ2是定值18．
設(shè)直線OP：y=k1x，OQ：y=k2x， ，
聯(lián)立 解得
∴
同理，得
由OP2+OQ2= + = ，
∴OP2+OQ2=
= =
=
綜上：OP2+OQ2=18
【解析】（Ⅰ）由題意得，c，a，推出b，即可得到橢圓的方程．（Ⅱ）由已知，直線OP：y=k1x，OQ：y=k2x，且與圓R相切，列出方程，說明k1 ， k2是方程 的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，推出 ，通過點(diǎn)R（x0 ， y0）在橢圓C上，化簡求解即可．（Ⅲ）OP2+OQ2是定值18．設(shè)直線OP：y=k1x，OQ：y=k2x，聯(lián)立 解得 同理，得 ，然后計(jì)算OP2+OQ2= + 化簡求解即可．