Question

【題目】已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為.

（1）求的值；

（2）求證：時，；

（3）求證：.

Answer 1

【答案】見解析.

【解析】分析：第一問對函數(shù)求導(dǎo)，求得的值，緊接著求得，從而應(yīng)用點斜式求得直線的方程，與題中所給的直線方程對比，求得參數(shù)的值，第二問將所求的的值代入，之后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，之后證得結(jié)果，第三問借助于第二問所證得的不等式，將其中變量加以代換，之后對不等式進(jìn)行變形，并且對其進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，然后應(yīng)用裂項相消法求和，證得結(jié)果.

詳解：（Ⅰ）函數(shù)定義域為，，

又因為

所以該切線方程為，即,.

（2）設(shè)，

則

設(shè)，

則

當(dāng)，，又，故

所以，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以

所以，

（2）由（2）可知，

令，則，

因為

所以時，有

化簡為，

即，所以.