【題目】若存在實(shí)常數(shù)和,使得函數(shù)和對其定義域上的任意實(shí)數(shù)分別滿足: 和,則稱直線為和的“隔離直線”.已知, 為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求的極值;
(2)函數(shù)和是否存在隔離直線?若存在,求出此隔離直線方程;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)當(dāng)時(shí), 取極小值,其極小值為(2)函數(shù)和存在唯一的隔離直線
【解析】試題分析:(1)由已知中函數(shù)f(x)和φ(x)的解析式,求出函數(shù)F(x)的解析式,根據(jù)求導(dǎo)公式,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性并求極值;(2)由(1)可知,函數(shù)f(x)和φ(x)的圖象在(,e)處相交,即f(x)和φ(x)若存在隔離直線,那么該直線必過這個(gè)公共點(diǎn),設(shè)隔離直線的斜率為k.則隔離直線方程為y-e=k(x-),即y=kx-k+e,根據(jù)隔離直線的定義,構(gòu)造方程,可求出k值,進(jìn)而得到隔離直線方程
試題解析:(1) ,
.
當(dāng)時(shí), .當(dāng)時(shí), ,此時(shí)函數(shù)遞減;
當(dāng)時(shí), ,此時(shí)函數(shù)遞增;
∴當(dāng)時(shí), 取極小值,其極小值為.
(2)解法一:由(1)可知函數(shù)和的圖象在處有公共點(diǎn),因此若存在和的隔離直線,則該直線過這個(gè)公共點(diǎn).
設(shè)隔離直線的斜率為,則直線方程為,即.
由,可得當(dāng)時(shí)恒成立.
,
由,得.
下面證明當(dāng)時(shí)恒成立.
令,則,
當(dāng)時(shí), .
當(dāng)時(shí), ,此時(shí)函數(shù)遞增;
當(dāng)時(shí), ,此時(shí)函數(shù)遞減;
∴當(dāng)時(shí), 取極大值,其極大值為.
從而,即恒成立.
∴函數(shù)和存在唯一的隔離直線.
解法二:由(Ⅰ)可知當(dāng)時(shí), (當(dāng)且當(dāng)時(shí)取等號).
若存在和的隔離直線,則存在實(shí)常數(shù)和,使得和恒成立,令,則且
,即.后面解題步驟同解法一.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,其中 (為自然對數(shù)的底數(shù)).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性,并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設(shè),若函數(shù)對任意都成立,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知對任意平面向量 =(x,y),把 繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到的向量 =(xcosθ﹣ysinθ,xsinθ+ycosθ),叫做把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)θ得到點(diǎn)P.
(1)已知平面內(nèi)點(diǎn)A(2,3),點(diǎn)B(2+2 ,1).把點(diǎn)B繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 角得到點(diǎn)P,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(2)設(shè)平面內(nèi)曲線C上的每一點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 后得到的點(diǎn)的軌跡方程是曲線y= ,求原來曲線C的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0, )的部分圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間和對稱中心.
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【題目】設(shè)銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A,B,C,其中角B的大小為 ,則cosA+sinC的取值范圍為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若關(guān)于的不等式在上恒成立,求的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù),若在上有兩個(gè)不同極值點(diǎn),求的取值范圍,并判斷極值的正負(fù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(且)
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù),函數(shù),
①若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
②證明:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若恒成立,試確定實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)把的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再把得到的圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象,求的值.
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