Question

已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(log₂x)=x+(a為常數(shù)).

(1)求f(x)的解析式;

(2)當f(x)是偶函數(shù)時，試討論f(x)的單調(diào)性.

Answer 1

解析：(1)設(shè)log₂x=t,則x=2^t,

∴f(t)=2^t+,

∴f(x)=2^x+(x∈R).

(2)若f(x)是偶函數(shù)，則f(-x)=f(x),

即,

即,

∴(2^x-2^-x)(a-1)=0對x∈R恒成立，∴a=1.∴f(x)=2^x+(x∈R).

設(shè)x₁＜x₂,則f(x₁)-f(x₂)=

∵x₁＜x₂,∴＞0.

①若x₁,x₂∈(-∞,0］,則x₁+x₂＜0,

∴＜1.

∴f(x₁)-f(x₂)＞0,f(x₁)＞f(x₂).

故函數(shù)f(x)在（-∞，0］上是減函數(shù).

②當x₁、x₂∈(0,+∞),則x₁+x₂＞0,

∴＞1.

∴f(x₁)-f(x₂)＜0即f(x₁)＜f(x₂).

故函數(shù)f(x)在（0,+∞）上是增函數(shù).

或由f(x)是偶函數(shù)且在（-∞，0］上是減函數(shù),由對稱性可知f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).