【題目】如圖,在底面是菱形的四棱錐, 平面, ,分別為的中點,設直線與平面交于點.

1已知平面平面求證: .

2求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】1見解析2.

【解析】試題分析:(1)由三角形中位線定理可得,利用線面平行的判定定理可得平面,在根據(jù)線面平行的性質定理可得;(2)由勾股定理可得 , ∵平面,由此可以點為原點,直線分別為軸建立空間直角坐標系,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組,分別求出直線的方向向量與平面的法向量,利用空間向量夾角余弦公式.

試題解析:1, 平面, 平面.

平面,

平面,平面平面

.

2底面是菱形 的中點

平面,則以點為原點,直線分別為軸建立如圖所示空間直角坐標系則

, ,

設平面的法向量為,

,,

解之得,,

設直線與平面所成角為

直線與平面所成角的正弦值為.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的性質與判定以及利用空間向量求線面角,屬于難題. 空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當?shù)目臻g直角坐標系;(2)寫出相應點的坐標,求出相應直線的方向向量;(3)設出相應平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關系轉化為向量關系;(5)根據(jù)定理結論求出相應的角和距離.

練習冊系列答案
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