【題目】已知橢圓C: 經(jīng)過(guò)點(diǎn),且離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線: 與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B,求面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
【答案】(1) ;(2) .
【解析】【試題分析】(1)將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程,結(jié)合橢圓離心率和,列方程組,求出的值.由此求得橢圓方程.(2)聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程,寫出韋達(dá)定理和判別式.根據(jù)弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式,求得面積的表達(dá)式,最后利用基本不等式求最大值.
【試題解析】
(1)由題意,知考慮到,解得
所以,所求橢圓C的方程為.
(2)設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程,
整理得.
由,得. ①
設(shè), ,則, .
于是
.
又原點(diǎn)O到直線AB: 的距離.
所以.
因?yàn)?/span>,當(dāng)僅且當(dāng),即時(shí)取等號(hào).
所以,即面積的最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知一工廠生產(chǎn)了某種產(chǎn)品700件,該工廠對(duì)這些產(chǎn)品進(jìn)行了安全和環(huán)保這兩個(gè)性能的質(zhì)量檢測(cè)。工廠決定利用隨機(jī)數(shù)表法從中抽取100件產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測(cè),現(xiàn)將700件產(chǎn)品按001,002,…,700進(jìn)行編號(hào);
(1)如果從第8行第4列的數(shù)開(kāi)始向右讀,請(qǐng)你依次寫出最先檢測(cè)的3件產(chǎn)品的編號(hào);
(下面摘取了隨機(jī)數(shù)表的第7~9行)
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
(2)抽取的100件產(chǎn)品的安全性能和環(huán)保性能的質(zhì)量檢測(cè)結(jié)果如下表:
檢測(cè)結(jié)果分為優(yōu)等、合格、不合格三個(gè)等級(jí),橫向和縱向分別表示安全性能和環(huán)保性能。若在該樣本中,產(chǎn)品環(huán)保性能是優(yōu)等的概率為,求,的值。
件數(shù) | 環(huán)保性能 | |||
優(yōu)等 | 合格 | 不合格 | ||
安全性能 | 優(yōu)等 | 6 | 20 | 5 |
合格 | 10 | 18 | 6 | |
不合格 | 4 |
(3)已知,,求在安全性能不合格的產(chǎn)品中,環(huán)保性能為優(yōu)等的件數(shù)比不合格的件數(shù)少的概率。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù),其中.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知當(dāng)(其中是自然對(duì)數(shù))時(shí),在上至少存在一點(diǎn),使成立,求的取值范圍;
(3)求證:當(dāng)時(shí),對(duì)任意, ,有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2017年“雙節(jié)”期間,高速公路車輛較多.某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問(wèn)調(diào)查,將他們?cè)谀扯胃咚俟返能囁?/span>分成六段: , , , , , 后得到如圖的頻率分布直方圖.
(1)調(diào)查公司在采樣中,用到的是什么抽樣方法?
(2)求這40輛小型車輛車速的眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的估計(jì)值;
(3)若從車速在的車輛中任抽取2輛,求車速在的車輛至少有一輛的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,且點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5.
(1)求拋物線的方程;
(2)設(shè)斜率為的兩條平行直線分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)和,如圖. 與拋物線交于兩點(diǎn), 與拋 物線交兩點(diǎn).問(wèn):是否存在實(shí)數(shù),使得四邊形的面積為?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是不重合直線,是不重合平面,則下列命題
①若,則∥
②若∥∥,則∥
③若∥、∥,則∥
④若,則∥
⑤若,則∥
為假命題的是
A. ①②③ B. ①②⑤ C. ③④⑤ D. ①②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)當(dāng)時(shí),判斷方程在區(qū)間上有無(wú)實(shí)根;
(3)若時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) .
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值;
(Ⅱ)當(dāng)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),求的值及函數(shù)的最小正周期.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系中,直線l過(guò)點(diǎn)P(1,2).
(1)若直線l在x軸和y軸上的截距相等,求直線l的方程;
(2)求坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l距離取最大值時(shí)的直線l的方程;
(3)設(shè)直線l與x軸正半軸、y軸正半軸分別相交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)|PA||PB|最小時(shí),求直線l的方程.
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