Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=

x2+1

-

1

2

ax．
（Ⅰ）當(dāng)a=

2

時(shí)，討論f（x），在（-∞，0）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若f（x），在（-∞，0）上為單調(diào)遞減函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先確定x＜0時(shí)函數(shù)的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）先確定x＜0時(shí)函數(shù)的解析式，再利用f（x）在（-∞，0）上為單調(diào)遞減函數(shù)，建立不等式，分離參數(shù)，即可確定a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=

2

時(shí)，設(shè)x＜0，則-x＞0，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=

x2+1

-

1

2

ax，
∴f（-x）=

x2+1

+

2

2

x
∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）=-

x2+1

-

2

2

x（x＜0）
∴f′（x）=-

x

x2+1

-

2

2

令f′（x）＜0，可得x＞-1；令f′（x）＞0，可得x＜-1
∴函數(shù)在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，在（-1，0）上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）x＜0時(shí)，f（x）=-

x2+1

-

1

2

ax
∴f′（x）=-

x

x2+1

-

a

2

∵f（x）在（-∞，0）上為單調(diào)遞減函數(shù)，
∴-

x

x2+1

-

a

2

≤0在（-∞，0）上恒成立
∴

a

2

≥-

x

x2+1

在（-∞，0）上恒成立
∵-

x

x2+1

=

1

1+ 1 x2

≤1
∴

a

2

≥1，
∴a≥2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的確定，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問(wèn)題，綜合性強(qiáng)．