Question

已知．
（I）討論f（x）的單調(diào)性，并求出f（x）的最大值；
（II）求證：；
（III）比較f（2²）+f（3²）+…f（n²）與的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：對于（I）討論f（x）的單調(diào)性，求f（x）的最大值問題，可先求出函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)的零點討論極值，根據(jù)導函數(shù)的大于零或小于零，討論函數(shù)的單調(diào)性問題．
對于（II）求證，可以考慮把代入移向轉(zhuǎn)化為考查函數(shù)g（x）=lnx-x+1≤0的問題，再根據(jù)導函數(shù)求極值的方法證得即可．
對于（III）比較f（2²）+f（3²）+…f（n²）與的大小，分析由（2）證得，從而，故可求出f（2²）+f（3²）+…f（n²）的小于等于一個關于n的式子．再根據(jù)化簡即可證得大�。�
解答：解：（I），
令f'（x）＞0，得x＜e，令f'（x）＜0得x＞e．
又f（x）的定義域為（0，+∞），∴f（x）在（0，e）上遞增，在（e，+∞）遞減，
從而．
（II）要證即證，
∵x＞0，∴只需證：lnx-x+1≤0．
令g（x）=lnx-x+1，則，
令g'（x）＞0，得0＜x＜1，g'（x）＜0得x＞1（x＜0舍去）．
∴g（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，
∴g（x）≤g（1）=0，∴l(xiāng)nx-x+1≤0成立，
即成立．
（III）由（2）知，，從而，
∴．
又，
∴==，
即答案為．
點評：此題主要考查函數(shù)單調(diào)性和極值的求法問題，其中涉及到由導函數(shù)求函數(shù)極值知識點，此類知識點屬于高考重點�？碱}型，綜合性強，計算大，易錯同學們需要多加注意．