Question

如圖，在斜度一定的山坡上的一點(diǎn)A測(cè)得山頂上一建筑物頂端C對(duì)于山坡的斜度為15°，向山頂前進(jìn)100m后，又從點(diǎn)B測(cè)得斜度為45°，假設(shè)建筑物高50m，設(shè)山對(duì)于地平面的斜度θ，求cosθ的值．

Answer 1

分析：在三角形ABC中，由∠CBD-∠CAB求出∠ACB的度數(shù)，再由AB的長(zhǎng)，以及sin∠CAB與sin∠ACB的值，利用正弦定理表示出BC，在三角形DBC中，由由CD，∠CBD=45°與∠CDB=90°+θ，利用正弦定理列出關(guān)系式，將各自的值代入利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，即可求出cosθ的值．

解答：解：在△ABC中，AB=100m，∠CAB=15°，∠ACB=45°-15°=30°，
∴由正弦定理得：

100

sin30°

=

BC

sin15°

，
解得：BC=200sin15°（m），
在△DBC中，CD=50m，∠CBD=45°，∠CDB=90°+θ，
sin15°=sin（45°-30°）=

2

2

×

3

2

-

2

2

×

1

2

=

6 - 2

4

，
∴由正弦定理得：

50

sin45°

=

200sin15°

sin(90°+θ)

，
解得：sin（90°+θ）=cosθ=

200sin15°sin45°

50

=

3

-1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．