(2011•崇明縣二模)設(shè)函數(shù)f(x)=x2+1,若關(guān)于x的不等式f(
x
m
)+4f(m)≤4m2f(x)+f(x-1)對任意x∈[
3
2
,+∞)恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
(-∞,-
3
2
]∪[
3
2
,+∞)
(-∞,-
3
2
]∪[
3
2
,+∞)
分析:先把原不等式整理后轉(zhuǎn)化為g(x)=(-
1
m2
+4m2+1)x2-2x-3≥0對任意x∈[
3
2
,+∞)恒成立,再利用二次函數(shù)恒成立的求解方法即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解答:解:原不等式不等式f(
x
m
)+4f(m)≤4m2f(x)+f(x-1)整理得g(x)=(-
1
m2
+4m2+1)x2-2x-3≥0,
即可以轉(zhuǎn)化為g(x)=g(x)=(-
1
m2
+4m2+1)x2-2x-3≥0對任意x∈[
3
2
,+∞)恒成立.
由于函數(shù)g(x)開口向上,對稱軸小于等于
3
2
,所以在x∈[
3
2
,+∞)上遞增.
故只須g(
3
2
)≥0⇒-
1
m2
+4m2-
5
3
≥0⇒12(m22-5m2-3≥0⇒m2
3
4
或m2≤-
1
3
⇒m≥
3
2
或m≤-
3
2

故答案為:(-∞,-
3
2
]∪[
3
2
,+∞).
點(diǎn)評:本題主要考查二次函數(shù)的恒成立問題.二次函數(shù)的恒成立問題分兩類,一是大于0恒成立須滿足開口向上,且判別式小于0,二是小于0恒成立須滿足開口向下,且判別式小于0.
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lim
n→∞
Sn=
1
2
,則首項(xiàng)a1取值范圍是
(0,
1
2
)∪(
1
2
,1)
(0,
1
2
)∪(
1
2
,1)

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2
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