已知四棱錐，底面為矩形，側(cè)棱，其中，為側(cè)棱上的兩個三等分點，如下圖所示．
（1）求證：；
（2）求異面直線與所成角的余弦值；
（3）求二面角的余弦值．
 
（1）詳見解析；（2）；(3)．

試題分析：(1)利用底面矩形的對角線互相平分產(chǎn)生一個AC的中點,從而構(gòu)造出了△ANC的中位線，利用線線平行得到了線面平行；(2)此題利用傳統(tǒng)平移的做法求異面直線的夾角略顯繁瑣，故可利用條件中PA⊥平面ABCD產(chǎn)生空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求線線角；(3)同(2)，傳統(tǒng)做出二面角的平面角的方法比較繁瑣，利用已經(jīng)建好的坐標(biāo)系求出法向量，進(jìn)而可以得到二面角的余弦值．
（1）證明：連結(jié)AC交BD于O，連結(jié)OM，
∵底面ABCD為矩形，∴O為AC中點，∵M(jìn)、N為側(cè)棱PC的三等份點，∴CM=CN，
∴OM//AN， ∵OM平面MBD，AN平面MBD，∴AN//平面MBD  4分．
（2）如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，

則A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(3,6,0)，D(0,6,0)，P(0,0,3)，M(2,4,1)，N(1,2,2),
,  ,  
異面直線AN與PD所成角的余弦值為         8分
（3）∵側(cè)棱PA垂直底面ABCD,∴平面BCD的一個法向量為=(0,0,3),           
設(shè)平面MBD的法向量為m=(x,y,z),，并且,
，令y-1得x=2，z=-2,
∴平面MBD的一個法向量為m=(2,1,-2),,   12分
由圖可知二面角M-BD-C的大小是銳角,
∴二面角M-BD-C大小的余弦值為      12分．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，點A1在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，∠ACB=90，BC=1，AC=CC1=2.
(1)證明：AC1⊥A1B;
(2)設(shè)直線AA1與平面BCC1B1的距離為，求二面角A1-AB-C的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
在平行四邊形中，，.將沿折起，使得平面平面，如圖.

（1）求證： ；
（2）若為中點，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1中點.
（1）求證：AB1⊥面A1BD；
（2）求二面角A－A1D－B的余弦值；
（3）求點C到平面A1BD的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，，，面，設(shè)為中點，點在線段上且．
（1）求證：平面；
（2）設(shè)二面角的大小為，若，求的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面底面．
（Ⅰ）若，分別為，中點，求證：∥平面；
（Ⅱ）求證：；
（Ⅲ）若，求證：平面平面．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1，M為AA1的中點，N為A1B1上的點，且滿足A1N=NB1，P為底面正方形A1B1C1D1的中心.求證：MN⊥MC，MP⊥B1C.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知，是不重合的兩條直線，，是不重合的兩個平面．下列命題：①若⊥，⊥，則∥； ②若⊥，⊥，則∥；③若∥，⊥，則⊥；④若∥，，則∥．其中所有真命題的序號是       ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

設(shè)m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面.則下列命題中正確的是（    ）
A．m⊥，n，m⊥n⊥B．⊥，∩=m，n⊥mn⊥
C．⊥，m⊥，n∥m⊥nD．∥，m⊥，n∥m⊥n

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