Question

已知雙曲線

x2

2

-y2=1與射線y=

1

2

x（x≥0）公共點為P，過P作兩條傾斜角互補且不重合的直線，它們與雙曲線都相交且另一個交點分別為A，B（不同于P）．
（1）求點P到雙曲線兩條漸近線的距離之積；
（2）設直線PA斜率為k，求k的取值范圍；
（3）求證直線AB的斜率為定值．

Answer 1

分析：（1）由

x2 2 -y2=1 y= 1 2 x(x≥0)

，得P（2，1），雙曲線

x2

2

-y2=1的漸近線方程是

2

x-2y=0和

2

x+2y=0，由此能求出點P到雙曲線兩條漸近線的距離之積．
（2）設直線PA斜率為k，則PA的方程為kx-y+1-2k=0，由

x2 2 -y2=1 kx-y+1-2k=0

，得（1-2k²）x²+（8k²-4k）x+8k-8k²-4=0，由直線PA與雙曲線

x2

2

-y2=1有兩個交點，知△=（8k²-4k）²-4（1-2k²）（8k-8k²-4）＞0，由此能求出k的取值范圍．
（3）P（2，1），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設PPA：y=m（x-2）+1，PB：y=-m（x-2）+1，分別與雙曲線方程聯(lián)立，得（1-2m²）x₁²+（8m²-4m）x₁+8m-8m²-4=0，由2是方程的一個根，知x1=

8m2-4m

2m2-1

-2，同理，x2=

8m2+4m

2m2-1

-2，所以x1-x2=

8m

1-2m2

，由y1=m(

8m2-4m

2m2-1

-4)+1，y2=-m(

8m2+4m

2m2-1

-4)+1，所以y₁-y₂=

8m

2m2-1

，由此能夠證明直線AB的斜率為定值-1．

解答：解：（1）由

x2 2 -y2=1 y= 1 2 x(x≥0)

，得P（2，1），
雙曲線

x2

2

-y2=1的漸近線方程是

2

x-2y=0和

2

x+2y=0，
點P（2，1）到兩條漸近線

2

x-2y=0和

2

x+2y=0的距離分別是
d1=

|2 2 -2|

6

和d2=

|2 2 +2|

6

，
∴點P到雙曲線兩條漸近線的距離之積
d₁d₂=

8-4

6

=

2

3

．
（2）設直線PA斜率為k，則PA的方程為：y-1=k（x-2），
即kx-y+1-2k=0，
由

x2 2 -y2=1 kx-y+1-2k=0

，消去y，并整理，得（1-2k²）x²+（8k²-4k）x+8k-8k²-4=0，
∵直線PA與雙曲線

x2

2

-y2=1有兩個交點，
∴△=（8k²-4k）²-4（1-2k²）（8k-8k²-4）＞0，
即k²-2k+1＞0，
∴k≠1．
故k的取值范圍是（-∞，1）∪（1，+∞）．
（3）∵P（2，1），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵PA和PB是兩條傾斜角互補且不重合的直線，
設PA斜率是m，則PB斜率是-m
則PA：y=m（x-2）+1，PB：y=-m（x-2）+1，
分別與雙曲線方程聯(lián)立，得

x12

2

-(mx1-2m+1)2=1，
（1-2m²）x₁²+（8m²-4m）x₁+8m-8m²-4=0，
∵2是方程的一個根，
∴x1=

8m2-4m

2m2-1

-2，
同理，x2=

8m2+4m

2m2-1

-2，
∴x1-x2=

8m

1-2m2

，
∵y1=m(

8m2-4m

2m2-1

-4)+1，
y2=-m(

8m2+4m

2m2-1

-4)+1，
∴y₁-y₂=

8m

2m2-1

，
∴kAB=

y1-y2

x1-x2

=

8m 2m2-1

8m 1-2m2

=-1．
即直線AB的斜率為定值-1．

點評：本題主要考查雙曲線的標準方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，雙曲線的簡單性質(zhì)等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．