Question

如圖，矩形A₁A₂A′₂A′₁，滿足B、C在A₁A₂上，B₁、C₁在A′₁A′₂上，且BB₁∥CC₁∥A₁A′₁，A₁B=CA₂=2，BC=2

2

，A₁A′₁=λ，沿BB₁、CC₁將矩形A₁A₂A′₂A′₁折起成為一個直三棱柱，使A₁與A₂、A′₁與A′₂重合后分別記為D、D₁，在直三棱柱DBC-D₁B₁C₁中，點M、N分別為D₁B和B₁C₁的中點．

（Ⅰ）證明：MN∥平面DD₁C₁C；
（Ⅱ）若二面角D_1-MN-C為直二面角，求λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連結(jié)DB₁、DC₁，根據(jù)矩形的幾何特征，可得M為DB₁的中點，由三角形中位線定理，可得MN∥DC₁，進(jìn)而由線面平行的判定定理得到MN∥平面DD₁C₁C；
（Ⅱ）以DB、DC、DD₁所在直線分別為x．y．z軸建立直角坐標(biāo)系，由二面角D_1-MN-C為直二面角，可得平面D₁MN的法向量

m

與平面MNC的法向量

n

垂直，進(jìn)而由向量垂直的充要條件，可得λ的值．

解答：證明：（Ⅰ）連結(jié)DB₁、DC₁
∵四邊形DBB₁D₁為矩形，M為D₁B的中點 …（2分）
∴M是DB₁與D₁B的交點，且M為DB₁的中點
∴MN∥DC₁，
又∵M(jìn)N?平面DD₁C₁C，DC₁?平面DD₁C₁C
∴MN∥平面DD₁C₁C                          …（4分）
解：（Ⅱ）四邊形A₁A₂A′₂A′₁為矩形，B，C在A₁A₂上，B₁，C₁在A′₁A′₂上，
且BB₁∥CC₁∥A₁A₁'，A₁B=CA₂=2，BC=2

2

，
∴∠BDC=90°                                        …（6分）
以DB、DC、DD₁所在直線分別為x．y．z軸建立直角坐標(biāo)系，則
D（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），D₁（0，0，λ），B₁（2，0，λ），C₁（0，2，λ）
點M、N分別為D₁B和B₁C₁的中點，
∴M(1，0，

λ

2

)，N(1，1，λ)
設(shè)平面D₁MN的法向量為

m

=（x，y，z），
則

(x，y，z)•(1，-2， λ 2 )=0 (x，y，z)•(1，-1，λ)=0

⇒

x-2y+ λz 2 =0 x-y+λz=0

，
令x=1得：
即

m

=(1，-1，

2

λ

)…（8分）
設(shè)平面MNC的法向量為

n

=（x，y，z），
則

(x，y，z)•(1，-1， λ 2 )=0 (x，y，z)•(1，-1，λ)=0

⇒

x-y+ λz 2 =0 x-y+λz=0

，
令z=1得：x=-

3λ

2

，y=-

λ

2

即

n

=(-

3λ

2

，-

λ

2

，1)…（10分）
∵二面角D₁-MN-C為直二面角
∴

m

⊥

n

，
故

m

•

n

=-

3λ

2

+

λ

2

+

2

λ

=0，
解得：λ=

2

∴二面角D₁-MN-C為直二面角時，λ=

2

．     …（12分）

點評：本題考查的知識點是線面平行的判定定理，二面角的平面角及求法，解答（I）的關(guān)鍵是熟練掌握線面垂直的充要條件，解答（II）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題．