【題目】已知.
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),且恒成立,求的最大值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),對(duì)分成兩類,討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值,并令這個(gè)最大值小于或等于零,由此得到,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值,進(jìn)而求得的最大值.
解:(1) 由,得
(。┊(dāng)時(shí),恒成立,在上單調(diào)遞增;
(ⅱ)當(dāng)時(shí),解得,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減。
(2)當(dāng)時(shí),,
令,則,
由(1)可知,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,不合題意;
當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí)取得最大值。
所以恒成立,即,整理得
即, 。
令,,
令,,解得,
當(dāng)時(shí),, 單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),, 單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí)取得最大值為,
因?yàn)楫?dāng)時(shí),, 然而,
∴當(dāng)時(shí),恒成立,當(dāng)時(shí)恒成立,
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,即函數(shù)的最大值為,所以的最大值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列命題中,假命題的是( )
A.一條直線與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交,則必與另一個(gè)平面相交.
B.平行于同一平面的兩條直線一定平行.
C.如果平面不垂直于平面,那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面.
D.若直線不平行于平面,且不在平面內(nèi),則在平面內(nèi)不存在與平行的直線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況,隨機(jī)抽取了名觀眾進(jìn)行調(diào)查,其中女性有名.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖:
將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于分鐘的觀眾稱“體育述”,已知“體育迷”中名女性.
(1)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)?
非體育迷 | 體育迷 | 合計(jì) | |
男 | |||
女 | |||
合計(jì) |
(2)將日均收看該體育項(xiàng)目不低于分鐘的觀眾稱為“超級(jí)體育迷”,已知“超級(jí)體育述”中有名女性,若從“超級(jí)體育述”中任意選取人,求至少有名女性觀眾的概率.
附: ,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在多面體中,是等邊三角形,是等腰直角三角形, ,平面平面,平面.
(1) 求證:;
(2) 若,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭天的日用水量數(shù)據(jù)(單位:)和使用了節(jié)水龍頭天的日用水量數(shù)據(jù),得到頻數(shù)分布表如下:
未使用節(jié)水龍頭天的日用水量頻數(shù)分布表
日用水量 | |||||||
頻數(shù) |
使用了節(jié)水龍頭天的日用水量頻數(shù)分布表
日用水量 | ||||||
頻數(shù) |
(Ⅰ)作出使用了節(jié)水龍頭天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;
(Ⅱ)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后,一年能節(jié)省多少水?(一年按天計(jì)算,同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校在年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取名學(xué)生的筆試成績(jī),按成績(jī)分組:第組,第組,第組,第組,第組得到的頻率分布直方圖如圖所示
分別求第組的頻率;
若該校決定在第組中用分層抽樣的方法抽取名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試,
已知學(xué)生甲和學(xué)生乙的成績(jī)均在第組,求學(xué)生甲和學(xué)生乙同時(shí)進(jìn)入第二輪面試的概率;
根據(jù)直方圖試估計(jì)這名學(xué)生成績(jī)的平均分.(同一組中的數(shù)據(jù)用改組區(qū)間的中間值代表)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示的幾何體是由棱臺(tái) 和棱錐拼接而成的組合體,其底面四邊形是邊長(zhǎng)為 的菱形,且 , 平面 , .
(1)求證:平面 平面 ;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,右焦點(diǎn)為,左頂點(diǎn)為A,右頂點(diǎn)B在直線上.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于A,B的點(diǎn),直線交直線于點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí),判斷以為直徑的圓與直線PF的位置關(guān)系,并加以證明.
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