Question

已知橢圓C的對稱中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，左右焦點(diǎn)分別為和，且||=2，
點(diǎn)（1，）在該橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，若AB的面積為，求以為圓心且與直線相切圓的方程．

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：本題主要考查橢圓的定義和方程、圓的方程、點(diǎn)到直線的距離公式等基礎(chǔ)知識，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力.第一問，利用，得，即，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，得到和的值，從而得到橢圓方程；第二問，分2種情況進(jìn)行討論，當(dāng)直線垂直x軸時(shí)，的面積很容易求出，與已知面積不相等，所以舍掉，當(dāng)直線不垂直x軸時(shí)，設(shè)出直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求出，再數(shù)形結(jié)合求出圓的半徑，從而求的面積，解出k的值，確定半徑的值，即可求出圓的方程.
試題解析：（1）橢圓C的方程為                            ．．（4分）
（2）①當(dāng)直線⊥x軸時(shí)，可得，，的面積為3，不符合題意．   （6分）
②當(dāng)直線與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為y=k（x+1）．代入橢圓方程得：
，顯然＞0成立，設(shè)A，B，則
，，可得|AB|=     ．．（9分）
又圓的半徑，∴的面積=，化簡得：，得k=±1，∴r =，圓的方程為    ．．（12分）