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在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C的中心在原點O,焦點在x軸上,短軸長為2,離心率為.

(1)求橢圓C的方程;

(2)A,B為橢圓C上滿足AOB的面積為的任意兩點,E為線段AB的中點,射線OE交橢圓C于點P.t,求實數t的值.

 

1y212t2t

【解析】(1)設橢圓C的方程為1(ab0)

由題意知解得

因此橢圓C的方程為y21.

(2)(ⅰ)AB兩點關于x軸對稱時,設直線AB的方程為xm.

由題意得-m00m.

xm代入橢圓方程y21,得|y|.

所以SAOB|m.解得m2m2.

因為tt()t(2m,0)(mt,0),

P為橢圓C上一點,所以1.

①②,得t24t2,

t0,所以t2t.

(ⅱ)A,B兩點關于x軸不對稱時,設直線AB的方程為ykxh.

將其代入橢圓的方程y21,得

(12k2)x24khx2h220.A(x1,y1),B(x2,y2)

由判別式Δ0可得12k2h2,

此時x1x2=-x1x2,

y1y2k(x1x2)2h

所以|AB|.

因為點O到直線AB的距離d,

所以SAOB|AB|d×2×××××|h|.

SAOB,所以××|h|.

n12k2,代入整理得3n216h2n16h40.

解得n4h2nh2,12k24h212k2h2.

因為tt()t(x1x2,y1y2)

P為橢圓C上一點,

所以t211.

代入,t24t2.

t0,t2t.

經檢驗,適合題意.

綜合(ⅰ)(ⅱ),得t2t

 

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