【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PC⊥平面PAD,AB∥CD,CD=2AB=2BC,M,N分別是棱PA,CD的中點.

(1)求證:PC∥平面BMN;
(2)求證:平面BMN⊥平面PAC.

【答案】
(1)證明:設AC∩BN=O,連結MO,AN,

因為 ,N為CD的中點,

所以AB=CN,AB∥CN,所以四邊形ABCN為平行四邊形,

所以O為AC的中點,所以MO∥PC.

又因為MO平面BMN,PC平面BMN,所以PC∥平面BMN


(2)證明:(方法一)因為PC⊥平面PDA,AD平面PDA

所以PC⊥AD,由(1)同理可得,四邊形ABND為平行四邊形,

所以AD∥BN,所以BN⊥PC

因為BC=AB,所以平行四邊形ABCN為菱形,所以BN⊥AC,

因為PC∩AC=C,AC平面PAC,PC平面PAC,所以BN⊥平面PAC

因為BN平面BMN,所以平面BMN⊥平面PAC.

(方法二)連結PN,因為PC⊥平面PDA,PA平面PDA,所以PC⊥PA

因為PC∥MO,所以PA⊥MO,因為PC⊥平面PDA,PD平面PDA,所以PC⊥PD

因為N為CD的中點,所以 ,由(1) ,所以AN=PN

又因為M為PA的中點,所以PA⊥MN

因為MN∩MO=M,MN平面BMN,MO平面BMN

所以PA⊥平面BMN,因為PA平面PAC,所以平面PAC⊥平面BMN.


【解析】
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定和平面與平面垂直的判定是解答本題的根本,需要知道平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行;一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.

練習冊系列答案
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【題目】冶煉某種金屬可以用舊設備和改造后的新設備,為了檢驗用這兩種設備生產的產品中所含雜質的關系,調查結果如下表所示:

分類

雜質高

雜質低

舊設備

37

121

新設備

22

202

根據(jù)以上數(shù)據(jù),則(  )

A. 含雜質的高低與設備改造有關

B. 含雜質的高低與設備改造無關

C. 設備是否改造決定含雜質的高低

D. 以上答案都不對

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【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,四邊形ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,ECB的中點,AB=PA=AD=2CD,則AP與平面PDE所成角的正弦值為 ( )

A. B. C. D.

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【題目】已知M,N是焦點為F的拋物線y2=2px(p>0)上兩個不同的點,線段MN的中點A的橫坐標為.

(1)|MF|+|NF|的值;

(2)p=2,直線MNx軸交于點B,求點B的橫坐標的取值范圍.

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【題目】甲,乙兩人進行圍棋比賽,共比賽2n(n∈N+)局,根據(jù)以往比賽勝負的情況知道,每局甲勝的概率和乙勝的概率均為 .如果某人獲勝的局數(shù)多于另一人,則此人贏得比賽.記甲贏得比賽的概率為P(n).
(1)求P(2)與P(3)的值;
(2)試比較P(n)與P(n+1)的大小,并證明你的結論.

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【題目】在一個特定時段內,以點為中心的海里以內海域被設為警戒水域.點正北50海里處有一個雷達觀測站.某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點北偏東且與點相距海里的位置,經過分鐘又測得該船已行駛到點北偏東且與點相距海里的位置

(1)求該船的行駛速度(單位:海里/小時);

(2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛,判斷它是否會進入警戒水域,并說明理由.

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【題目】已知數(shù)列{an},{bn}均為各項都不相等的數(shù)列,Sn為{an}的前n項和,an+1bn=Sn+1(n∈N).
(1)若a1=1,bn= ,求a4的值;
(2)若{an}是公比為q的等比數(shù)列,求證:存在實數(shù)λ,使得{bn+λ}為等比數(shù)列;
(3)若{an}的各項都不為零,{bn}是公差為d的等差數(shù)列,求證:a2 , a3 , …,an…成等差數(shù)列的充要條件是d=

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【題目】為評估設備生產某種零件的性能,從設備生產零件的流水線上隨機抽取100件零件作為樣本,測量其直徑后,整理得到下表:

直徑mm

58

59

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

73

合計

件數(shù)

1

1

3

5

6

19

33

18

4

4

2

1

2

1

100

經計算,樣本的平均值,標準差,以頻率值作為概率的估計值.

(1)為評判一臺設備的性能,從該設備加工的零件中任意抽取一件,記其直徑為,并根據(jù)以下不等式進

行評判(表示相應事件的概率);①;②;③.

評判規(guī)則為:若同時滿足上述三個不等式,則設備等級為甲;僅滿足其中兩個,則等級為乙;若僅滿足其中一個,則等級為丙;若全部不滿足,則等級為丁,試判斷設備的性能等級.

(2)將直徑小于等于或直徑大于的零件認為是次品.

ⅰ)從設備的生產流水線上隨意抽取2件零件,計算其中次品個數(shù)的數(shù)學期望;

ⅱ)從樣本中隨意抽取2件零件,計算其中次品個數(shù)的數(shù)學期望.

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【題目】已知非空集合M滿足M{0,1,2,…,n}(n≥2,n∈N+).若存在非負整數(shù)k(k≤n),使得當a∈M時,均有2k﹣a∈M,則稱集合M具有性質P.設具有性質P的集合M的個數(shù)為f(n).
(1)求f(2)的值;
(2)求f(n)的表達式.

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