Question

已知點(diǎn)A（2，0）關(guān)于直線l₁：x+y-4=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A₁，圓C：（x-m）²+（y-n）²=4（n＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和A₁，且與過(guò)點(diǎn)B（0，-2）的直線l₂相切．
（1）求圓C的方程；（2）求直線l₂的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由點(diǎn)A和A₁均在圓C上且關(guān)于直線l₁對(duì)稱(chēng)，得到圓心在直線l₁上，由圓的方程找出圓心坐標(biāo)，代入直線l₁，得到關(guān)于m與n的方程，然后把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入到圓的方程中，得到關(guān)于m與n的另一個(gè)方程，聯(lián)立兩方程即可求出m與n的值，確定出圓C的方程；
（2）當(dāng)直線l₂的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線l₂的方程，由直線與圓相切時(shí)圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，從而確定出直線l₂的方程；當(dāng)直線l₂的斜率不存在時(shí)，x=0顯然滿(mǎn)足題意，綜上，得到所有滿(mǎn)足題意得直線l₂的方程．
解答：解：（1）∵點(diǎn)A和A₁均在圓C上且關(guān)于直線l₁對(duì)稱(chēng)，
∴圓心在直線l₁上，由圓C的方程找出圓心C（m，n），
把圓心坐標(biāo)直線l₁，點(diǎn)A代入圓C方程得：
，解得或（與n＞0矛盾，舍去），
則圓C的方程為：（x-2）²+（y-2）²=4；
（2）當(dāng)直線l₂的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線l₂的方程為y=kx-2，由（1）得到圓心坐標(biāo)為（2，2），半徑r=2，
根據(jù)題意得：圓心到直線的距離d==r=2，解得k=1，
所以直線l₂的方程為y=x-2；
當(dāng)直線l₂的斜率不存在時(shí)，
易得另一條切線為x=0，
綜上，直線l₂的方程為y=x-2或x=0．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與圓的位置關(guān)系．要求學(xué)生會(huì)利用待定系數(shù)法求圓的方程，掌握直線與圓相切時(shí)滿(mǎn)足的關(guān)系，在求直線l₂的方程時(shí)，注意由所求直線的斜率存在還是不存在，利用分類(lèi)討論的方法得到所有滿(mǎn)足題意得方程．