Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線3x﹣y+ =0截以原點(diǎn)O為圓心的圓所得的弦長(zhǎng)為
（1）求圓O的方程；
（2）若直線l與圓O切于第一象限，且與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)D、E，當(dāng)DE長(zhǎng)最小時(shí)，求直線l的方程；
（3）設(shè)M、P是圓O上任意兩點(diǎn)，點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為N，若直線MP、NP分別交x軸于點(diǎn)（m，0）和（n，0），問(wèn)mn是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)辄c(diǎn)O到直線3x﹣y+ =0的距離為

d= = ，

所以圓O的半徑為r= =2；

故圓O的方程為x2+y2=4

（2）解：設(shè)直線l的方程為 =1（a＞0，b＞0），

即bx+ay﹣ab=0；

由已知 =2，

即 = ；

所以DE2=a2+b2

=4（a2+b2）（ ）

=4（2+ + ）≥16；

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2 時(shí)取等號(hào)，

此時(shí)直線l的方程為x+y﹣2 =0

（3）解：設(shè)點(diǎn)M（x1，y1），P（x2，y2），

則N（x1，﹣y1），且 + =4 + =4，

直線MP與x軸交點(diǎn)為（ ，0），

則m= ；

直線NP與x軸交點(diǎn)為（ ，0），

則n= ．

所以mn=

=

= =4，

故mn為定值4

【解析】（1）由點(diǎn)O到直線3x﹣y+ =0的距離d，求出圓O的半徑r，寫(xiě)出圓O的方程；（2）寫(xiě)出直線l的方程，由d=r以及基本不等式求出DE2取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的方程；（3）設(shè)出點(diǎn)M、P，根據(jù)對(duì)稱性寫(xiě)出點(diǎn)N，利用圓的方程表示出直線MP、NP與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，得出m、n的值，計(jì)算mn即可．