Question

已知命題p：方程a²x²+ax-2=0在[-1，1]上有解；
命題q：只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足不等式x²+2ax+2a≤0；
若命題“p或q”是真命題，而命題“p且q”是假命題，且?q是真命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：如果“p或q”為真命題，“p或q”也為真命題，則“p”、“q”中一個(gè)為真命題、一個(gè)為假命題．然后再分類討論即可求解．

解答：解：對(duì)于命題p：由a²x²+ax-2=0在上有解，
當(dāng)a=0時(shí)，不符合題意；
當(dāng)a≠0時(shí)，方程可化為：（ax+2）（ax-1）=0，
解得：x=-

2

a

，或x=

1

a

∵x∈[-1，1]，
∴-1≤-

2

a

≤1或-1≤

1

a

≤1，
解得：a≥1或a≤-1
對(duì)于命題q：由只有一個(gè)實(shí)數(shù)x滿足不等式x²+2ax+2a≤0
得拋物線y=x²+2ax+2a與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴△=4a²-8a=0
∴a=0或a=2
又因命題“p或q”是真命題，而命題“p且q”是假命題，且?q是真命題，
則命題p是真命題，命題q是假命題，
所以a的取值范圍為（-∞，-1]∪[1，2）∪（2，+∞）

點(diǎn)評(píng)：（1）由簡(jiǎn)單命題和邏輯連接詞構(gòu)成的復(fù)合命題的真假可以用真值表來(lái)判斷，反之根據(jù)復(fù)合命題的真假也可以判斷簡(jiǎn)單命題的真假．假若p且q真，則p 真，q也真；若p或q真，則p，q至少有一個(gè)真；若p且q假，則p，q至少有一個(gè)假．（2）可把“p或q”為真命題轉(zhuǎn)化為并集的運(yùn)算；把“p且q”為真命題轉(zhuǎn)化為交集的運(yùn)算．