Question

設(shè)a₁，a₂，…，a_n是各項不為零的n（n≥4）項等差數(shù)列，且公差d≠0．將此數(shù)列刪去某一項后，得到的數(shù)列（按原來順序）是等比數(shù)列．
（1）若n=4，則

a1

d

=

-4，1

；
（2）所有數(shù)對（n，

a1

d

）所組成的集合為

{（4，-4），（4，1）}

．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n=4時，a₁，a₂，a₃，a₄中不可能刪去首項或末項，否則等差數(shù)列中連續(xù)三項不可能成等比數(shù)列，再考慮分別刪去a₂，a₃，即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)出數(shù)列的公差d，列舉出數(shù)列的各項，討論從第一項開始刪去，由得到的數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，列出關(guān)于d與首項的方程，求出方程的解即可得到d的值，根據(jù)d不為0，得到滿足題意的d的值，即可求出滿足題意的所有數(shù)對，組成集合的形式即可．

解答：解：（1）當(dāng)n=4時，a₁，a₂，a₃，a₄中不可能刪去首項或末項，否則由連續(xù)三項成等比數(shù)列，可推出d=0．
若刪去a₂，則a₃2=a₁•a₄，即（a₁+2d）²=a₁•（a₁+3d）化簡得a₁+4d=0，得

a1

d

=-4
若刪去a₃，則a₂²=a₁•a₄，即（a₁+d）²=a₁•（a₁+3d）化簡得a₁-d=0，得

a1

d

=1
綜上，得

a1

d

=-4或

a1

d

=1．
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，則各項分別為：a₁，a₁+d，a₁+2d，…，a₁+（n-1）d，且a₁≠0，d≠0，
假設(shè)去掉第一項，則有（a₁+d）（a₁+3d）=（a₁+2d）²，解得d=0，不合題意；
去掉第二項，有a₁（a₁+3d）=（a₁+2d）²，化簡得：4d²+a₁d=0即d（4d+a₁）=0，解得d=-

1

4

a₁，
因為數(shù)列的各項不為零，所以數(shù)列不會出現(xiàn)第五項（a₁+4d=0），所以數(shù)對（n，

a1

d

）=（4，-4）；
去掉第三項，有a₁（a₁+3d）=（a₁+d）²，化簡得：d²-a₁d=0即d（d-a₁）=0，解得d=a₁，
則此數(shù)列為：a，2a，3a，4a，…此數(shù)列仍然不會出現(xiàn)第五項，
因為出現(xiàn)第五項，數(shù)列不為等比數(shù)列，所以數(shù)對（n，

a1

d

）=（4，1）；
去掉第四項時，有a₁（a₁+2d）=（a₁+d）²，化簡得：d=0，不合題意；
當(dāng)去掉第五項或更遠的項時，必然出現(xiàn)上述去掉第一項和第四項時的情況，即d=0，不合題意．
所以滿足題意的數(shù)對有兩個，組成的集合為{（4，-4），（4，1）}．
故答案為：-4，1；{（4，-4），（4，1）}

點評：本題考查學(xué)生靈活運用等比數(shù)列的性質(zhì)化簡求值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，是一道難題．