知橢圓的離心率為，定點，橢圓短軸的端點是，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)過點且斜率不為0的直線交橢圓于兩點.試問軸上是否存在異于的定點，使平分？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

 

【答案】

（1）；（2）存在，.

【解析】

試題分析：（1）由離心率為可得到一個關(guān)于的方程，再根據(jù)MB1⊥MB2即可得；（2）本題采用“設(shè)而不求”的方法，將A，B兩點坐標(biāo)設(shè)出，但不求出.注意到平分，則直線的傾斜角互補(bǔ)這個性質(zhì),從而由斜率著手，以韋達(dá)定理為輔助工具，得出點P的坐標(biāo).

試題解析：（1）由得

又,知是等腰直角三角形，從而.

所以橢圓C的方程是.                                   5分

（2）設(shè)，直線AB的方程為

由得，

所以 ①，②                        8分

若平分，則直線的傾斜角互補(bǔ)，

所以

設(shè)，則有，                                  10分

將代入上式，整理得，

將①②代入得，由于上式對任意實數(shù)都成立，所以.

綜上，存在定點，使平分PM平分∠APB.                        13分

考點：1.橢圓的簡單幾何性質(zhì)；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；3.斜率公式.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切，分別是橢圓的左右兩個頂點， 為橢圓上的動點．

       （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

       （Ⅱ）若與均不重合，設(shè)直線與的斜率分別為，證明：為定值；

       （Ⅲ）為過且垂直于軸的直線上的點，若，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切，分別是橢圓的左右兩個頂點， 為橢圓上的動點．

       （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

       （Ⅱ）若與均不重合，設(shè)直線與的斜率分別為，證明：為定值；

       （Ⅲ）為過且垂直于軸的直線上的點，若，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分12分）已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線相切，分別是橢圓的左右兩個頂點， 為橢圓上的動點．

       （Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

       （Ⅱ）若與均不重合，設(shè)直線與的斜率分別為，證明：為定值；

       （Ⅲ）為過且垂直于軸的直線上的點，若，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012－2013學(xué)年江西省高二第一次月考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為.

(Ⅰ）求橢圓的方程；

(Ⅱ）已知動直線與橢圓相交于、兩點.

①若線段中點的橫坐標(biāo)為，求斜率的值；

②已知點，求證：為定值.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年山東省青島市高三上學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué) 題型：解答題

（本小題滿分14分）

已知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知動直線與橢圓相交于、兩點.

①若線段中點的橫坐標(biāo)為，求斜率的值；

②已知點，求證：為定值.

 

 

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