Question

已知橢圓x2+

y2

b2

=1(0＜b＜1)的左焦點(diǎn)為F，左右頂點(diǎn)分別為A，C上頂點(diǎn)為B，過F，B，C三點(diǎn)作⊙P，其中圓心P的坐標(biāo)為（m，n）．
（1）若FC是⊙P的直徑，求橢圓的離心率；
（2）若⊙P的圓心在直線x+y=0上，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的方程知a=1，點(diǎn)B（0，b），C（1，0），設(shè)F的坐標(biāo)為（-c，0），由FC是⊙P的直徑，知FB⊥BC．由kBC=-b，kBF=

b

c

，知b²=c=1-c²，c²+c-1=0．由此能求出橢圓的離心率．
（2）由P過點(diǎn)F，B，C三點(diǎn)，知圓心P既在FC的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，F(xiàn)C的垂直平分線方程為x=

1-c

2

．由BC的中點(diǎn)為(

1

2

，

b

2

)，k_BC=-b，知BC的垂直平分線方程為y-

b

2

=

1

b

(x-

1

2

)，所以m=

1-c

2

，n=

b2-c

2b

．由P（m，n）在直線x+y=0上，知b=c．由此能求出橢圓的方程．

解答：解：（1）由橢圓的方程知a=1，∴點(diǎn)B（0，b），C（1，0），
設(shè)F的坐標(biāo)為（-c，0），（1分）
∵FC是⊙P的直徑，
∴FB⊥BC
∵kBC=-b，kBF=

b

c

∴-b•

b

c

=-1（2分）
∴b²=c=1-c²，c²+c-1=0（3分）
解得c=

5 -1

2

（5分）
∴橢圓的離心率e=

c

a

=

5 -1

2

（6分）
（2）解：∵⊙P過點(diǎn)F，B，C三點(diǎn)，
∴圓心P既在FC的垂直平分線上，也在BC的垂直平分線上，
FC的垂直平分線方程為x=

1-c

2

①（7分）
∵BC的中點(diǎn)為(

1

2

，

b

2

)，k_BC=-b
∴BC的垂直平分線方程為y-

b

2

=

1

b

(x-

1

2

)②（9分）
由①②得x=

1-c

2

，y=

b2-c

2b

，
即m=

1-c

2

，n=

b2-c

2b

（11分）
∵P（m，n）在直線x+y=0上，
∴

1-c

2

+

b2-c

2b

=0?（1+b）（b-c）=0
∵1+b＞0
∴b=c（13分）
由b²=1-c²得b2=

1

2

∴橢圓的方程為x²+2y²=1（14分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的離心率和橢圓方程的求法．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，靈活運(yùn)用橢圓的性質(zhì)，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．