Question

設(shè)函數(shù)(其中).
(Ⅰ) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ) 當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值.

Answer 1

(Ⅰ) 函數(shù)的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為, (Ⅱ)

(Ⅰ) 當(dāng)時(shí),
,
令,得,
當(dāng)變化時(shí),的變化如下表:

		極大值		極小值

右表可知,函數(shù)的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,.
(Ⅱ),
令,得,,
令,則,所以在上遞增,
所以,從而,所以
所以當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；
所以
令,則,
令,則
所以在上遞減,而
所以存在使得,且當(dāng)時(shí),,
當(dāng)時(shí),,
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240155430991216.png" style="vertical-align:middle;" />,,
所以在上恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得“”.
綜上,函數(shù)在上的最大值.
(1)根據(jù)k的取值化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，明確函數(shù)的定義域，然后利用求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，中規(guī)中矩；（2）借助構(gòu)造函數(shù)的技巧進(jìn)行求解，如構(gòu)造達(dá)到證明的目的，構(gòu)造達(dá)到證明的目的.
【考點(diǎn)定位】本題考查函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最值問題，考查學(xué)生的分類討論思想和構(gòu)造函數(shù)的解題能力.