Question

 如圖所示：圖1是定義在R上的二次函數(shù)f(x)的部分圖象，圖2是函數(shù)g(x)＝log_a(x＋b)的部分圖象．

⑴分別求出函數(shù)f(x)和g(x)的解析式；

⑵如果函數(shù)y＝g(f(x))在區(qū)間[1，m)上單調(diào)遞減，求m的取值范圍．

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：⑴由題圖1得，二次函數(shù)f(x)的頂點坐標(biāo)為(1,2)，

故可設(shè)函數(shù)f(x)＝a(x－1)²＋2，

又函數(shù)f(x)的圖象過點(0,0)，

故a＝－2，整理得f(x)＝－2x²＋4x.    (3分)

由題圖2得，函數(shù)g(x)＝log_a(x＋b)的圖象過點(0,0)和(1,1)，

故有∴

∴g(x)＝log₂(x＋1)(x>－1)． (6分)

⑵由⑴得y＝g(f(x))＝log₂(－2x²＋4x＋1)是由y＝log₂t和t＝－2x²＋4x＋1復(fù)合而成的函數(shù)，而y＝log₂t在定義域上單調(diào)遞增，要使函數(shù)y＝g(f(x))在區(qū)間[1，m)上單調(diào)遞減，必須t＝－2x²＋4x＋1在區(qū)間[1，m)上單調(diào)遞減，且有t>0恒成立                                                             (9分)

由t＝0得x＝，又t的圖象的對稱軸為x＝1.

所以滿足條件的m的取值范圍為1<m<.      (12分)