Question

設(shè)橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，離心率為，其一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若斜率為2的直線l過橢圓C在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，且與該橢圓交于A、B兩點(diǎn)，求AB的中點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用離心率為，其一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0），求出幾何量，即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）直線方程代入橢圓方程．利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其焦點(diǎn)為（0，±c）（2分）
由已知得 b²=1，，（6分）
又a²=b²+c²（8分）∴a²=2，c=1
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（9分）
（Ⅱ）直線l的方程為 y-1=2（x-0），即y=2x+1
設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
AB中點(diǎn)坐標(biāo)為M（x，y）
由得6x²+4x-1=0（12分）
∴，
∴AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．