Question

已知x=1是函數(shù)f(x)=

1

2

x2-6x+mlnx的一個(gè)極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求m；
（Ⅱ）若直線y=n與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求n的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=（-5-a）lnx+

1

2

x2+（6-b）x+2（a＞0），G（x）=f（x）+g（x），若G（x）=0有兩個(gè)不同零點(diǎn)x₁，x₂，且x0=

x1+x2

2

，試探究G′（x₀）值的符號(hào)．

Answer 1

（Ⅰ）因?yàn)閒′（x）x-6+

m

x

，
所以f′（1）=1-6+m=0，解得m=5；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=

1

2

x2-6x+5lnx（x＞0），
所以f′（x）=x-6+

5

x

=

x2-6x+5

x

=

(x-1)(x-5)

x

，
當(dāng)x∈（1，5）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（5，+∞）或x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
所以f（x）的極大值為f（1）=

1

2

-6=-

11

2

，
極小值為f（5）=

1

2

×25-30+5ln5=-

35

2

+5ln5，
又x→0時(shí)，f（x）→-∞，x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，
結(jié)合圖象可知：當(dāng)且僅當(dāng)f（5）＜n＜f（1）時(shí)，直線y=n與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，
∴-

35

2

+5ln5＜n＜-

11

2

；
（III）G′（x₀）的符號(hào)為正．證明如下：
因?yàn)镚（x）=f（x）+g（x）=

1

2

x2-6x+5lnx+（-5-a）lnx+

1

2

x2+（6-b）x+2=x²+2-alnx-bx有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，
所以有

x12+2-alnx1-bx1=0 x22+2-alnx2-bx2=0

，
兩式相減得x22-x12-a(lnx2-lnx1)-b（x₂-x₁）=0，即x2+x1-b=

a(lnx2-lnx1)

x2-x1

，
于是G′(x0)=2x0-

a

x0

-b=(x1+x2-b)-

2a

x1+x2

=

a(lnx2-lnx1)

x2-x1

-

2a

x1+x2

=

a

x2-x1

[ln

x2

x1

-

2(x2-x1)

x1+x2

]=

a

x2-x1

[ln

x2

x1

-

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

]，
①，令

x2

x1

=t，則t＞1，且G′（x₀）=

a

x2-x1

（lnt-

2(t-1)

1+t

）．
設(shè)u（t）=lnt-

2(t-1)

1+t

（t＞1），
則u′（t）=

1

t

-

4

(1+t)2

=

(1-t)2

t(1+t)2

＞0，
則u（t）=lnt-

2(t-1)

1+t

在（1，+∞）上為增函數(shù)．
而u（1）=0，所以u(píng)（t）＞0，即lnt-

2(t-1)

1+t

＞0．
又因?yàn)閍＞0，x₂-x₁＞0，所以G′（x₀）＞0．
②當(dāng)0＜x₂＜x₁時(shí)，同理可得：G′（x₀）＞0．
綜上所述：G′（x₀）的符號(hào)為正．