Question

已知函數(shù)．

(1)求的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)時(shí)，判斷和的大小，并說明理由；

(3)求證：當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程：在區(qū)間上總有兩個(gè)不同的解．

 

Answer 1

【答案】

（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為

（2）當(dāng)時(shí)，

（3）構(gòu)造函數(shù)考慮函數(shù)，借助于導(dǎo)數(shù)來判定單調(diào)性，從而得到極值來判定。

【解析】

試題分析：（1）

當(dāng)時(shí)可解得，或

當(dāng)時(shí)可解得

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，

單調(diào)遞減區(qū)間為                         

（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013082012380031179207/SYS201308201239062148887293_DA.files/image013.png">在單調(diào)遞增，所以

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013082012380031179207/SYS201308201239062148887293_DA.files/image013.png">在單減，在單增，所能取得的最小值為，，，，所以當(dāng)時(shí)，．

綜上可知：當(dāng)時(shí)，．　                        

（3）即

考慮函數(shù)，

，，

所以在區(qū)間、分別存在零點(diǎn)，又由二次函數(shù)的單調(diào)性可知：最多存在兩個(gè)零點(diǎn)，所以關(guān)于的方程：在區(qū)間上總有兩個(gè)不同的解  

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的運(yùn)用，屬于中檔題。