Question

已知是奇函數(shù)，
（1）求常數(shù)a的值；  
（2）求f（x）的定義域和值域；
（3）討論f（x）的單調(diào)性并證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用奇函數(shù)的定義f（-x）=-f（x），即可求得a值；
（2）先把函數(shù)f（x）變形為f（x）==1-，利用基本函數(shù)的值域可求函數(shù)f（x）的值域，f（x）的定義域易求得；
（3）設(shè)x₁＜x₂，通過作差比較f（x₁）與f（x₂）的大小，再利用函數(shù)的單調(diào)性的定義可作出判斷．
解答：解：（1）因為是奇函數(shù)，
所以f（-x）=-f（x），即=-，也即=-，
所以=a+1=0，
所以a=-1．
（2）由（1）知，f（x）==1-，
其定義域為R．
因為4^x＞0，所以0＜＜2，-1＜1-＜1，
即-1＜f（x）＜1．
所以函數(shù)f（x）的值域為（-1，1）．
（3）所以函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)．
證明：設(shè)x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（1-）-（1-）
=-=．
因為x₁＜x₂，所以＜，+1＞0，+1＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)．
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題，定義是解決該類問題的基本方法．