Question

（普通班）如圖所示，從橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一點(diǎn)M向x軸作垂線，恰好通過橢
圓的左焦點(diǎn)F₁，且它的長(zhǎng)軸端點(diǎn)A及短軸端點(diǎn)B的連線AB∥OM．
（1）求橢圓的離心率e；
（2）設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)₂是右焦點(diǎn)，F(xiàn)₁是左焦點(diǎn)，求∠F₁QF₂的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)MF₁⊥x軸，AB∥OM，得到Rt△OMF₁∽R(shí)t△ABO，從而得到比例線段：

MF1

BO

=

OF1

AO

．再根據(jù)點(diǎn)M在橢圓上，
求出M的縱坐標(biāo)，得出MF₁=

b2

a

，再結(jié)合AO=a，BO=b，OF₁=c，代入所得比例式，化簡(jiǎn)可得b=c，從而求出橢圓的離心率e；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q與橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)重合時(shí)，∠F₁QF₂的大小為零；當(dāng)點(diǎn)Q不與橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)重合時(shí)，設(shè)∠F₁QF₂的大小為θ，
在△F₁QF₂中，利用余弦定理，結(jié)合基本不等式和橢圓的定義，可以證出4a²-4c²≤2a²（1+cosθ），結(jié)合（1）的結(jié)論
a²=2c²，可以證出cosθ≥0，從而得到0＜θ≤

π

2

．最后綜合，得到θ∈[0，

π

2

]，即為∠F₁QF₂的取值范圍．

解答：解：（1）∵M(jìn)F₁⊥x軸，AB∥OM，
∴Rt△OMF₁∽R(shí)t△ABO⇒

MF1

BO

=

OF1

AO

…（*）
設(shè)點(diǎn)M（-c，y₁），代入橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，
得

c2

a2

+

y12

b2

=1，解之得y₁=

b2

a

（舍負(fù)），所以MF₁=

b2

a

，
又∵AO=a，BO=b，OF₁=c，
∴將AO、BO、MF₁、OF₁的長(zhǎng)代入（*）式，得

b2 a

b

=

c

a

，
∴b=c，得到b²=c²，即a²-c²=c²，所以a²=2c²，
∴離心率e滿足e²=

1

2

，可得e=

2

2

（舍負(fù)）（8分）      
（2）分兩種情況加以討論
①當(dāng)點(diǎn)Q與橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)重合時(shí)，∠F₁QF₂的大小為零；
②當(dāng)點(diǎn)Q不與橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)重合時(shí)，設(shè)∠F₁QF₂的大小為θ，則
在△F₁QF₂中，F1F22=QF12+QF22-2QF1•QF2cosθ
即F1F22=(QF1 +QF2)2-2QF1•QF2(1+cosθ)，
將F₁F₂=2c，QF₁+QF₂=2a代入，得4c²=4a²-2QF₁•QF₂（1+cosθ），
∴4a²-4c²=2QF₁•QF₂（1+cosθ），
∵QF₁•QF₂≤(

QF1+QF2

2

)2=a²，即得2QF₁•QF₂（1+cosθ）≤2a²（1+cosθ），
∴4a²-4c²≤2a²（1+cosθ），結(jié)合（1）的結(jié)論a²=2c²，
∴2a²≤2a²（1+cosθ）⇒cosθ≥0，
∵θ∈（0，π）
∴0＜θ≤

π

2

，
綜上所述，θ∈[0，

π

2

]，即∠F₁QF₂的取值范圍是[0，

π

2

]（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合一個(gè)特殊的橢圓，以求橢圓的離心率和焦點(diǎn)三角形中角的取值范圍為載體，著重考查了橢圓的基本概念、余弦定理和基本不等式等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．