Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，.

Answer 1

【答案】（1）若時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；若時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后分類討論，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；

（2）求出的導(dǎo)函數(shù) ，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故而在存在唯一的零點(diǎn)，即，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，從而可證得結(jié)論．

（1）解：由函數(shù)，．

得，．

若時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

若，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

若時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

綜上，若時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，

若時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；

（2）證明：，．

則 ．

當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

又（1），，

（2），

故而在存在唯一的零點(diǎn)，即．

則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

故而．

又，，

．

函數(shù)的對(duì)稱軸為，

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)楹瘮?shù)開(kāi)口向下，，

所以，

所以.