【題目】已知函數(shù).
(1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性;
(2)判斷當(dāng)時(shí)函數(shù)的單調(diào)性,并用定義證明;
(3)若定義域?yàn)?/span>,解不等式.
【答案】(1)奇函數(shù)(2)增函數(shù)(3)
【解析】試題分析:(1)判斷與證明函數(shù)的奇偶性,首先要確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系,如果對(duì)定義域上的任意x,都滿足f(-x)=f(x)就是偶函數(shù),如果f(-x)=-f(x)就是奇函數(shù),否則是非奇非偶函數(shù)。(2)利函數(shù)單調(diào)性定義證明單調(diào)性,按假設(shè),作差,化簡(jiǎn),判斷,下結(jié)論五個(gè)步驟。(3)由(1)(2)奇函數(shù)在(-1,1)為單調(diào)函數(shù),
原不等式變形為f(2x-1)<-f(x),即f(2x-1)<f(-x),再由函數(shù)的單調(diào)性及定義(-1,1)求解得x范圍。
試題解析:(1)函數(shù)為奇函數(shù).證明如下:
定義域?yàn)?/span>
又
為奇函數(shù)
(2)函數(shù)在(-1,1)為單調(diào)函數(shù).證明如下:
任取,則
,
即
故在(-1,1)上為增函數(shù)
(3)由(1)、(2)可得
則
解得:
所以,原不等式的解集為
【點(diǎn)睛】
(1)奇偶性:判斷與證明函數(shù)的奇偶性,首先要確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系,如果對(duì)定義域上的任意x,都滿足f(-x)=f(x)就是偶函數(shù),如果f(-x)=-f(x)就是奇函數(shù),否則是非奇非偶函數(shù)。
(2)單調(diào)性:利函數(shù)單調(diào)性定義證明單調(diào)性,按假設(shè),作差,化簡(jiǎn),定號(hào),下結(jié)論五個(gè)步驟。
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】已知函數(shù).
(1)若的定義域和值域均是,求實(shí)數(shù)的值;
(2)若在區(qū)間上是減函數(shù),且對(duì)任意的,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若,且對(duì)任意的,都存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】試題分析:(1)先利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,故在單調(diào)遞減,然后由定義域與值域列出等式關(guān)系,從而求解即可;(2)由(1)可知,初步確定的取值范圍,然后確定時(shí)函數(shù)的最大值,從中求解不等式組即可;(3)將“對(duì)任意的,都存在,使得成立”轉(zhuǎn)化為時(shí),的值域包含了在的值域,然后進(jìn)行分別求在的值域,從集合間的包含關(guān)系即可求出的取值范圍.
試題解析:(1)∵
∴在上單調(diào)遞減,又,∴在上單調(diào)遞減,
∴,∴,∴4分
(2)∵在區(qū)間上是減函數(shù),∴,∴
∴,
∴時(shí),
又∵對(duì)任意的,都有,
∴,即,也就是
綜上可知8分
(3)∵在上遞增,在上遞減,
當(dāng)時(shí),,
∵對(duì)任意的,都存在,使得成立
∴
∴,所以13分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)P(0,1)在圓C:x2+y2+2mx﹣2y+m2﹣4m+1=0內(nèi),若存在過點(diǎn)P的直線交圓C于A、B兩點(diǎn),且△PBC的面積是△PAC的面積的2倍,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2eax .
(Ⅰ)當(dāng)a<0時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)在(1)條件下,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,1]上的最大值;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)g(x)=2ex﹣ ,求證:當(dāng)a=1,對(duì)x∈(0,1),g(x)﹣xf(x)>2恒成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)求函數(shù)的定義域;
(2)判斷函數(shù)的奇偶性,并說明理由;
(3)判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,并加以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性;
(2)判斷當(dāng)時(shí)函數(shù)的單調(diào)性,并用定義證明;
(3)若定義域?yàn)?/span>,解不等式.
【答案】(1)奇函數(shù)(2)增函數(shù)(3)
【解析】試題分析:(1)判斷與證明函數(shù)的奇偶性,首先要確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系,如果對(duì)定義域上的任意x,都滿足f(-x)=f(x)就是偶函數(shù),如果f(-x)=-f(x)就是奇函數(shù),否則是非奇非偶函數(shù)。(2)利函數(shù)單調(diào)性定義證明單調(diào)性,按假設(shè),作差,化簡(jiǎn),判斷,下結(jié)論五個(gè)步驟。(3)由(1)(2)奇函數(shù)在(-1,1)為單調(diào)函數(shù),
原不等式變形為f(2x-1)<-f(x),即f(2x-1)<f(-x),再由函數(shù)的單調(diào)性及定義(-1,1)求解得x范圍。
試題解析:(1)函數(shù)為奇函數(shù).證明如下:
定義域?yàn)?/span>
又
為奇函數(shù)
(2)函數(shù)在(-1,1)為單調(diào)函數(shù).證明如下:
任取,則
,
即
故在(-1,1)上為增函數(shù)
(3)由(1)、(2)可得
則
解得:
所以,原不等式的解集為
【點(diǎn)睛】
(1)奇偶性:判斷與證明函數(shù)的奇偶性,首先要確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系,如果對(duì)定義域上的任意x,都滿足f(-x)=f(x)就是偶函數(shù),如果f(-x)=-f(x)就是奇函數(shù),否則是非奇非偶函數(shù)。
(2)單調(diào)性:利函數(shù)單調(diào)性定義證明單調(diào)性,按假設(shè),作差,化簡(jiǎn),定號(hào),下結(jié)論五個(gè)步驟。
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】已知函數(shù).
(1)若的定義域和值域均是,求實(shí)數(shù)的值;
(2)若在區(qū)間上是減函數(shù),且對(duì)任意的,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若,且對(duì)任意的,都存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<<4,|φ|< )過點(diǎn)(0, ),且當(dāng)x= 時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值1.
(1)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移 個(gè)單位得到函數(shù)g(x),求函數(shù)g(x)的表達(dá)式;
(2)在(1)的條件下,函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)+2cos2x﹣1,如果對(duì)于x1 , x2∈R,都有h(x1)≤h(x)≤h(x2),求|x1﹣x2|的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)a1 , a2 , …,an∈R,n≥3.若p:a1 , a2 , …,an成等比數(shù)列;q:(a +a +…+a )(a +a +…+a )=(a1a2+a2a3+…+an1an)2 , 則p是q的條件.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD與AB垂直,并與AB相交于點(diǎn)E,點(diǎn)F為弦CD上異于點(diǎn)E的任意一點(diǎn),連接BF、AF并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)M、N.
(1)求證:B、E、F、N四點(diǎn)共圓;
(2)求證:AC2+BFBM=AB2 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在R上的奇函數(shù)f(x),當(dāng)x≥0時(shí),
f(x)= ,
則關(guān)于x的函數(shù)F(x)=f(x)﹣a(0<a<1)的所有零點(diǎn)之和為( 。
A.1﹣2a
B.2a﹣1
C.1﹣2﹣a
D.2﹣a﹣1
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