【題目】設(shè)整數(shù)是區(qū)間中的不同整數(shù).證明：集合有這樣的子集存在，它的所有元素之和能被整除.

【答案】見解析

【解析】

1.若，則個整數(shù)都屬于.于是，其中至少有二數(shù)相等，令.

因，必有.

于是能被整除.

2.若.不妨設(shè)，考慮個整數(shù)，在其中任取三個數(shù).若均能被整除，則

，

從而，，與矛盾.

故中至少有兩個數(shù)之差不能被整除.

不妨設(shè)與的差不能被整除，考慮個整數(shù)：

.

i. 若這個數(shù)關(guān)于模的余數(shù)都不同，則其中必有一個數(shù)能被整除，令此數(shù)為.若為偶數(shù)，結(jié)論成立；若為奇數(shù)，加上即構(gòu)成所需要的子集.

ii. 若這些數(shù)關(guān)于模有兩個以上的數(shù)同余，則任取其中二數(shù)之差必被整除，對照這些數(shù)的表達(dá)式知，因?yàn)?/span>和不同余，故二同余的數(shù)之差必為原集合中若干數(shù)之和.不妨仍記此和為，以下討論同i.

注：是必要的，例如時(shí)，結(jié)論對（0，6）的子集{1，3，4}不成立.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱函數(shù)的一個上界.已知函數(shù)， .

（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值；

（2）在第（1）的條件下，求函數(shù)在區(qū)間上的所有上界構(gòu)成的集合；

（3）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】據(jù)氣象中心觀察和預(yù)測:發(fā)生于甲地的沙塵暴一直向正南方向移動，其移動速度與時(shí)間的函數(shù)圖象圖所示，過線段上一點(diǎn)作橫軸的垂線，梯形在直線左側(cè)部分的面積即為內(nèi)沙塵暴所經(jīng)過的路程.

（1） 當(dāng)時(shí)，求的值；

（2）將隨變化的規(guī)律用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來；

（3）若乙城位于甲地正南方向，且距甲地，試判斷這場沙塵暴是否會侵襲到乙城，如果會，在沙塵暴發(fā)生后多長時(shí)間它將侵襲到乙城?如果不會，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；

（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出下列命題:

①非零向量滿足，則和的夾角為30°；

②將函數(shù) 的圖像按向量 平移，得到函數(shù)的圖像；

③在三角形ABC中，若 ，則三角形ABC為等腰三角形；其中正確命題的個數(shù)是（ ）

A.0B.1C.2D.3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《周髀算經(jīng)》中給出了弦圖，所謂弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成一個大的正方形，若圖中直角三角形兩銳角分別為，，且小正方形與大正方形面積之比為，則的值為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為，過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線與曲線相交于，兩點(diǎn).

（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的普通方程；

（2）若，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形為矩形， 平面， .

（1）求證： ；

（2）若直線平面，試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）若， ，求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知傾斜角為的直線過點(diǎn)和點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，.

（1）求的坐標(biāo)；

（2）若直線與兩平行直線，相交于、兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值；

（3）記集合直線經(jīng)過點(diǎn)且與坐標(biāo)軸圍成的面積為，，針對的不同取值，討論集合中的元素個數(shù).

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