Question

【題目】如圖，在多面體中，平面平面，，，，，．

（1）求平面與平面所成二面角的正弦值；

（2）若是棱的中點(diǎn)，求證：對于棱上任意一點(diǎn)，與都不平行．

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析．

【解析】

（1）解法一，由面面垂直的條件證明平面，過點(diǎn)作，這樣以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量，根據(jù)公式計(jì)算；解法二：在平面內(nèi)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為；在平面內(nèi)，過作的垂線，交的延長線于點(diǎn)．連接，根據(jù)垂直關(guān)系，說明為平面與平面所成二面角的平面角；

（2）解法一：假設(shè)存在點(diǎn)滿足，設(shè)，，并利用向量相等表示點(diǎn)的坐標(biāo)，若滿足，則，利用向量相等，列方程組求解判斷是否有解；解法二：假設(shè)棱上存在點(diǎn)，使得，顯然與點(diǎn)不同，所以四點(diǎn)共面，利用四點(diǎn)共面推出矛盾；解法三：假設(shè)棱上存在點(diǎn)，使得,連接，取的中點(diǎn)，在△中，因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，由條件可知，都平行于,推出矛盾.

解法一：（1）因?yàn)?/span>，平面平面，

平面平面，平面，

所以平面．

作交于，則三條直線兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．

因?yàn)?/span>，，．

所以，

設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?/span>，

所以所以令，所以，

由軸平面知為平面的一個(gè)法向量，

所以，

所以與平面所成二面角的正弦值為．

（2）因?yàn)?/span>是棱的中點(diǎn)，由（1）可得．

假設(shè)棱上存在點(diǎn)，使得，

設(shè)，，

所以，

因?yàn)?/span>，所以，

所以這個(gè)方程組無解，

所以假設(shè)不成立，所以對于棱上任意一點(diǎn)，與都不平行．

解法二：（1）如圖，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為；在平面內(nèi)，過作的垂線，交的延長線于點(diǎn)．連接．

因?yàn)?/span>，所以平面．

因?yàn)?/span>，平面，平面，

所以平面，

設(shè)平面平面，則，故平面．

所以為平面與平面所成二面角的平面角．

因?yàn)?/span>，，所以，

在中，．

又，所以在中，．

所以，

所以與平面所成二面角的正弦值為．

（2）假設(shè)棱上存在點(diǎn)，使得，顯然與點(diǎn)不同

所以四點(diǎn)共面，記該平面為，所以，，，

又，，所以，，

所以就是點(diǎn)確定的平面，

這與為四棱錐相矛盾，所以假設(shè)不成立，

所以對于棱上任意一點(diǎn)，與都不平行．

解法三：（1）同解法一．

（2）假設(shè)棱上存在點(diǎn)，使得．

連接，取的中點(diǎn)，

在△中，因?yàn)?/span>分別為的中點(diǎn)，

所以．

因?yàn)檫^直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行，所以與重合．

又點(diǎn)在線段上，所以，又，

所以是與的交點(diǎn)，即就是，

而與相交，所以與相矛盾，所以假設(shè)不成立，

所以對于棱上任意一點(diǎn)，與都不平行．