【題目】如圖,已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長均為2,∠B1BA= ,且側(cè)面ABB1A1⊥底面ABC. (Ⅰ)證明:B1C⊥AC1
(Ⅱ)若M為A1C1的中點,求二面角A﹣B1M﹣A1的余弦值.

【答案】(Ⅰ)證明:過B1作BO⊥平面ABC, ∵斜三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長均為2,∠B1BA= ,
M,N分別為A1C1與B1C的中點,且側(cè)面ABB1A1⊥底面ABC.
∴△ABC和△ABB1是邊長為2的等邊三角形,∴O是AB中點,∴B1O= ,
∴OB,OB1 , OC兩兩垂直,
以O(shè)為原點,OB為x軸,OC為y軸,OB1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則O(0,0,0),B1(0,0, ),C(0, ,0),A(﹣1,0,0),C1(﹣1, , ),
=(0, ), =(0, ),
=0+3﹣3=0,
∴B1C⊥AC1
(Ⅱ)解:∵M為A1C1的中點,A1(﹣2,0, ),A(﹣1,0,0),B1(0,0, ),C1(﹣1, , ),M(﹣ , ),
=(1,0, ), =(﹣ , ),
設(shè)平面AB1M的法向量 =(x,y,z),
,取z=1,得 =(﹣ ,3,1),
平面B1MA1的法向量 =(0,0,1),
設(shè)二面角A﹣B1M﹣A1的平面角為θ,
則cosθ= = =
∴二面角A﹣B1M﹣A1的余弦值為

【解析】(Ⅰ)過B1作BO⊥平面ABC,則OB,OB1 , OC兩兩垂直,以O(shè)為原點,OB為x軸,OC為y軸,OB1為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明B1C⊥AC1 . (Ⅱ)求出平面AB1M的法向量和平面B1MA1的法向量,利用向量法能求出二面角A﹣B1M﹣A1的余弦值.
【考點精析】關(guān)于本題考查的直線與平面垂直的性質(zhì),需要了解垂直于同一個平面的兩條直線平行才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某班主任對全班50名學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和對待班級工作的態(tài)度進行了調(diào)查,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示:

積極參加班級工作

不太主動參加班級工作

合計

學(xué)習(xí)積極性高

18

7

25

學(xué)習(xí)積極性一般

6

19

25

合計

24

26

50

(Ⅰ)如果隨機抽查這個班的一名學(xué)生,那么抽到積極參加班級工作的學(xué)生的概率是多少?抽到不太主動參加班級工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生的概率是多少?
(Ⅱ)試運用獨立性檢驗的思想方法分析:學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對待班級工作的態(tài)度是否有關(guān)?并說明理由.
參考公式與臨界值表:K2=

p(K2≥k0

0.100

0.050

0.025

0.010

0.001

k0

2.706

3.841

5.024

6.635

10.828

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【題目】已知函f(x)=sin(2x﹣ )﹣cos2x.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期、最大值及取得最大值時x的集合;
(Ⅱ)設(shè)△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若 ,b=1, ,且a>b,求角B和角C.

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【題目】某公司有A,B,C,D,E五輛汽車,其中A、B兩輛汽車的車牌尾號均為1,C、D兩輛汽車的車牌尾號均為2,E車的車牌尾號為6,已知在非限行日,每輛車可能出車或不出車,A、B、E三輛汽車每天出車的概率均為 ,C、D兩輛汽車每天出車的概率均為 ,且五輛汽車是否出車相互獨立,該公司所在地區(qū)汽車限行規(guī)定如下:

車牌尾號

0和5

1和6

2和7

3和8

4和9

限行日

星期一

星期二

星期三

星期四

星期五


(1)求該公司在星期一至少有2輛汽車出車的概率;
(2)設(shè)X表示該公司在星期二和星期三兩天出車的車輛數(shù)之和,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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【題目】已知實數(shù)a,b滿足﹣2≤a≤2,﹣2≤b≤2,則函數(shù)y= x3 ax2+bx﹣1有三個單調(diào)區(qū)間的概率為(
A.
B.
C.
D.

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【題目】已知兩個不相等的非零向量 , ,兩組向量均由 , , , , 均由2個 和2個 排列而成,記S= + + + ,Smin表示S所有可能取值中的最小值,則下列命題中正確的個數(shù)為( )
①S有3個不同的值;
②若 ,則Smin與| |無關(guān);
③若 ,則Smin與| |無關(guān);
④若| |=2| ,Smin=4 ,則 的夾角為
A.0
B.1
C.2
D.3

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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 且Sn=2an﹣2(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足 = ﹣…+(﹣1)n+1 ,求數(shù)列{bn}的通項公式;
(3)在(2)的條件下,設(shè)cn=2n+λbn , 問是否存在實數(shù)λ使得數(shù)列{cn}(n∈N*)是單調(diào)遞增數(shù)列?若存在,求出λ的取值范圍;若不存在,請說明你的理由.

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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)= ﹣x,若不等式f(x)≤0在[﹣2,+∞)上有解,則實數(shù)a的最小值為(
A.
B.
C.
D.

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【題目】在四棱錐中P﹣ABCD,底面ABCD是正方形,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD= AD,E、F,分別為PC、BD的中點.
(1)求證:EF∥平面PAD;
(2)在線段AB上是否存在點G,使得二面角C﹣PD﹣G的余弦值為 ,若存在,請求出點G的位置;若不存在,請說明理由.

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