【題目】設(shè)a>0且a≠1,函數(shù)f(x)=x2-(a+1)x+alnx.
(1)當(dāng)a=2時(shí),求曲線y=f(x)在(3,f(3))處切線的斜率;
(2)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).
【答案】(1).(2) 見解析.
【解析】試題分析:(1)由已知中函數(shù) ,根據(jù)a=2,我們易求出f(3)及f′(3)的值,代入即可得到切線的斜率k=f′(3).
(2)由已知我們易求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)函數(shù)值為0,我們則求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),根據(jù)m>0,我們可將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)區(qū)間,分別在每個(gè)區(qū)間上討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),即可得到函數(shù)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn).
試題解析:
(1)由已知得x>0.
當(dāng)a=2時(shí),f′(x)=x-3+,f′(3)=,
所以曲線y=f(x)在(3,f(3))處切線的斜率為.
(2)f′(x)=x-(a+1)+
==.
由f′(x)=0,得x=1或x=a.
①當(dāng)0<a<1時(shí),
當(dāng)x∈(0,a)時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(a,1)時(shí),f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.
此時(shí)x=a時(shí)f(x)的極大值點(diǎn),x=1是f(x)的極小值點(diǎn).
②當(dāng)a>1時(shí),
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(1,a)時(shí),f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí),f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.
此時(shí)x=1是f(x)的極大值點(diǎn),x=a是f(x)的極小值點(diǎn).
綜上,當(dāng)0<a<1時(shí),x=a是f(x)的極大值點(diǎn),x=1是f(x)的極小值點(diǎn);
當(dāng)a>1時(shí),x=1是f(x)的極大值點(diǎn),x=a是f(x)的極小值點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且a1=2,an+1=2Sn+2.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}的各項(xiàng)均為正數(shù),且bn是 與 的等比中項(xiàng),求bn的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足,且.
(Ⅰ)證明:數(shù)列為等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若記為滿足不等式的正整數(shù)的個(gè)數(shù),設(shè),求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的值.
【答案】(1)見解析;(2)最大項(xiàng)為,最小項(xiàng)為.
【解析】試題分析:(Ⅰ)對(duì)兩邊取倒數(shù),移項(xiàng)即可得出,故而數(shù)列為等差數(shù)列,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出,從而可得出;(Ⅱ)根據(jù)不等式,,得,又,從而,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),單調(diào)遞減,;當(dāng)為偶數(shù)時(shí)單調(diào)遞增,綜上的最大項(xiàng)為,最小項(xiàng)為.
試題解析:(Ⅰ)由于,,則
∴,則,即為常數(shù)
又,∴數(shù)列是以1為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列
從而,即.
(Ⅱ)由即,得,
又,從而
故
當(dāng)為奇數(shù)時(shí),,單調(diào)遞減,;
當(dāng)為偶數(shù)時(shí),,單調(diào)遞增,
綜上的最大項(xiàng)為,最小項(xiàng)為.
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】已知向量, ,若函數(shù)的最小正周期為,且在區(qū)間上單調(diào)遞減.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)若關(guān)于的方程在有實(shí)數(shù)解,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).
(1)求曲線C1的直角坐標(biāo)方程及直線l的普通方程;
(2)若曲線C2的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)),曲線C1上點(diǎn)P的極角為 ,Q為曲線C2上的動(dòng)點(diǎn),求PQ的中點(diǎn)M到直線l距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(2﹣a)(x﹣1)﹣2lnx
(1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在(0, )上無(wú)零點(diǎn),求a最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2017年,在國(guó)家創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)戰(zhàn)略下,北斗系統(tǒng)作為一項(xiàng)國(guó)家高科技工程,一個(gè)開放型的創(chuàng)新平臺(tái),1400多個(gè)北斗基站遍布全國(guó),上萬(wàn)臺(tái)設(shè)備組成星地“一張網(wǎng)”,國(guó)內(nèi)定位精度全部達(dá)到亞米級(jí),部分地區(qū)達(dá)到分米級(jí),最高精度甚至可以達(dá)到厘米或毫米級(jí)。最近北斗三號(hào)工程耗資元建成一大型設(shè)備,已知這臺(tái)設(shè)備維修和消耗費(fèi)用第一年為元,以后每年增加元(是常數(shù)),用表示設(shè)備使用的年數(shù),記設(shè)備年平均維修和消耗費(fèi)用為,即 (設(shè)備單價(jià)設(shè)備維修和消耗費(fèi)用)設(shè)備使用的年數(shù).
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng), 時(shí),求這種設(shè)備的最佳更新年限.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).
(1)求曲線C1的直角坐標(biāo)方程及直線l的普通方程;
(2)若曲線C2的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)),曲線C1上點(diǎn)P的極角為 ,Q為曲線C2上的動(dòng)點(diǎn),求PQ的中點(diǎn)M到直線l距離的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知銳角三角形ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c若c﹣a=2acosB,則 的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足 .
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列滿足,
(I)求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(II)求的最小值.
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